Найти сумму ряда

[Ktina]

Сколько будет

$$-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\dots\text{?}$$

Наведите, пожалуйста, на мысль.

Частичные суммы вычислила на бумажке:

$$-1, -\frac{2}{3}, -\frac{13}{15}, -\frac{76}{105}, -\frac{263}{315}, \dots$$

Но это пока ничего не даёт...

[ИСН]

Ряд Тейлора для арктангенса знаете?

[Ktina]

ИСН в сообщении #713820 писал(а):

Ряд Тейлора для арктангенса знаете?

Пока нет, но сейчас в инете посмотрю.
А каким боком тут арктангенс?

[ИСН]

А вот таким-с.

[Ktina]

ИСН в сообщении #713823 писал(а):

А вот таким-с.

Нашла:

$$\operatorname{\arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$$

[ИСН]

Если решать не откровением свыше, а систематически, то Ваш ряд надо сделать степенным и продифференцировать. Это обычный приём. А частичные суммы почти никогда ничего не проясняют.

[Ktina]

ИСН в сообщении #713826 писал(а):

Если решать не откровением свыше, а систематически, то Ваш ряд надо сделать степенным и продифференцировать. Это обычный приём. А частичные суммы почти никогда ничего не проясняют.

Иногда частичные суммы помогают доказать по индукции, что сумма ряда равна такому-то числу. Но здесь иной случай.
За арктангенс спасибо, просто оказалось.
А ещё только что нашла в Вики, что это немного изменённый ряд Лейбница.
Интересно, сам Лейбниц тоже через арктангенс доказывал? Тейлор тогда, вроде, ещё не родился...

[Xaositect]

Ktina в сообщении #713827 писал(а):

Интересно, сам Лейбниц тоже через арктангенс доказывал? Тейлор тогда, вроде, ещё не родился...

http://www.proofwiki.org/wiki/Leibniz%2 ... %27s_Proof

[Ktina]

Xaositect в сообщении #713831 писал(а):

http://www.proofwiki.org/wiki/Leibniz%2 ... %27s_Proof

Ой, какой Вы сайт чудесный откопали, спасибо огромное!
Добавляю его к себе в закладки.