Задача ОУ с фиксированным временем и концами,с ограничениями

[Nickyticky]

Пожалуйста, помогите решить такую задачу по оптимальному управлению. Координаты вектора связаны друг с другом ограничением, поэтому я завел новую тему.

$T$ - заданный промежуток времени. $\mathbf{x}$ - $n$-мерный вектор. $\mathbf{x}^{T}$ - транспонирование

$\begin{cases} \int_{0}^{T} {(\dot{\mathbf{x}}^{T} \dot{\mathbf{x}} + \mathbf{x}^T B\mathbf{x})}dt \to \min \\ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{u} \\ \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}^0 \\ \mathbf{x}(T) = 0 \\ V\mathbf{x} \ge \mathbf{0} \end{cases} $

$B$ - диагональная положительно определенная матрица.
$V$ - ортогональная матрица, $V^T V=I$. Это полная матрица (не диагональная, не какая-нибудь простая).

Т.е. это задача ОУ с фиксированным временем с фиксированными концами.

При отсутствии ограничений решение простое: задача распадается на $n$ независимых задач, по задаче для каждой координаты. Для каждой координаты записывается уравнение Эйлера, в данном случае $b_i\cdot x_i - \ddot{x_i} =0$
и с учетом граничных условий получаем
$x_i(t) = \frac {x^0_i\sh(\sqrt{b_i}(T-t))} {\sh(\sqrt{b_i}T)} $

Теперь надо разобраться с этой задачей при наличии ограничения
$V\mathbf{x} \ge \mathbf{0} $, т.е. $(V\mathbf{x})_i \ge 0 \forall i$

Вот что я делал.

Функция Понтрягина
$H = -({\mathbf{u}}^{T} \mathbf{u} + \mathbf{x}^T B\mathbf{x}) + \mathbf{\psi}^T \mathbf{u} \to \max $
Сопряженная система
$\dot{\mathbf{\psi}} = 2B\mathbf{x}$
Граничные условия для нее получаются из граничных условий для $\mathbf{x}$.

Вопрос: Начало правильное или надо было сразу перейти к задаче со свободным временем, введя $(n+1)$-ю координату $\dot{\mathbf{x}}_{n+1}=1, \mathbf{x}_{n+1}(0) = 0$ ?

Дальше я сделал еще пару шагов. Правильные ли они?
Сопряженную систему интегрировать сложно. Зато заметил, что максимум по $\mathbf{u}$ функции $H$ формально не зависит от $\mathbf{x}^T B\mathbf{x}$. Записал
$\hat{H} = -{\mathbf{u}}^{T} \mathbf{u} + \mathbf{\psi}^T \mathbf{u} \to \max $

Если формально взять производную $\frac {\partial{\hat{H}}} {\partial{u}}$ и приравнять к нулю, получим $\mathbf{\psi} - \mathbf{u} = 0$
Подставим это в сопряженную систему, получим
$\dot{\mathbf{u}} - 2B\mathbf{x} = 0$ или $\ddot{x} - 2B\mathbf{x} = 0$

Это уравнение отличается коэффициентом "2" от уравнения Эйлера для задачи без ограничений. Наверно, что-то сделано неверно?

[Nimza]

1. Вы производную по $u$ от $u^T u$ взяли неправильно.

2.

Nickyticky в сообщении #713783 писал(а):

Граничные условия для нее получаются из граничных условий для .

У Вас граничное условие на левом конце для $\psi$ это принадлежность нормальному пространству к точке, то есть $\psi(0) \in \mathbb R^n$. Аналогично - с правым концом. Это то же самое, что нет никаких граничных условий.

А принцип максимума Понтрягина для задачи с фазовыми ограничениями можно найти в книге Арутюнова и др. "Принцип максимума Понтрягина".