Несобственный интеграл (правильность рассуждений)

[R_e_n]

$ \int_1^{+\infty}\frac{\cos(x^{-6})\sin(x^5)dx}{x^p} $
Сделаем замену
$x^5=t, x=t^{1/5}, dx=\frac15t^{\frac{-4}5}dt$
Получим
$ \frac15\int_1^{+\infty}\sin(t)\frac{\cos(t^{\frac{-6}5})dt}{t^{\frac{p}{5}+\frac45}} $
По признаку Дирихле, интеграл сходится, так как
1. $\int_a^b\sin(t)dt$ - конечен
2. $\frac{\cos(t^{\frac{-6}5})}{t^{\frac{p}{5}+\frac45}} $ - монотонная и стремится к нулю
при ${\frac{p}{5}+\frac45}>0$ или $ p>-4 $
Теперь если взять $p=-3$ и подставить в начальный интеграл, то получается, что
$ \int_1^{+\infty}\cos(x^{-6})\sin(x^5)x^3dx $ - сходится, что вообще говоря, вызывает сомнение

[provincialka]

Почему сомнения? $x^3$ смущает?
Единственная помарка - под косинусом 6 пропущено, но это не существенно.

[R_e_n]

provincialka в сообщении #713467 писал(а):

Почему сомнения? $x^3$ смущает?
Единственная помарка - под косинусом 6 пропущено, но это не существенно.

Спасибо, исправил.

Да $x^3$ смущает. По графику не скажешь, что этот интеграл сходится.


-- 21.04.2013, 10:43 --

Можно еще взять $p=0$, тогда получится, что
$ \int_1^{+\infty}\cos(x^{-6})\sin(x^5)dx $ - тоже сходится, что весьма подозрительно

[SpBTimes]

R_e_n в сообщении #713464 писал(а):

сходится, что вообще говоря, вызывает сомнение

Зря вызывает. Домножьте и разделите подынтегральную функцию на $x$, затем проинтегрируйте по частям

[provincialka]

R_e_n в сообщении #713475 писал(а):

Да смущает. По графику не скажешь, что этот интеграл сходится.

Ну, Вы даете! По графику сходимость определяете!
Интеграл - это не ряд, у него не необходимого условия сходимости. В том смысле, что подынтегральная функция не обязана стремиться к 0 в бесконечности. И даже не обязана быть ограниченной. Главное, чтобы площади "пиков" убывали достаточно быстро. Что и происходит, так как их ширина убывает быстрее, чем растет высота.

[R_e_n]

SpBTimes в сообщении #713482 писал(а):

Зря вызывает. Домножьте и разделите подынтегральную функцию на $x$, затем проинтегрируйте по частям

Спасибо, проверил, вроде и правда сошлось.

provincialka в сообщении #713489 писал(а):

Ну, Вы даете! По графику сходимость определяете!

Хочется, чтобы решение совпадало с интуитивным ожиданием.

provincialka в сообщении #713489 писал(а):

Интеграл - это не ряд, у него не необходимого условия сходимости. В том смысле, что подынтегральная функция не обязана стремиться к 0 в бесконечности. И даже не обязана быть ограниченной. Главное, чтобы площади "пиков" убывали достаточно быстро. Что и происходит, так как их ширина убывает быстрее, чем растет высота.

Спасибо, не знал (а может знал да забыл, столько лет прошло)