Помогите упростить выражение

[bigarcus]

Выражение

$$ \frac{-8\pi^2(a^2-b^2)^3-16\pi^2a^3(a^2-b^2)^{3/2}-8\pi^2a^6+12\pi^2b^2a(a^2-b^2)^{3/2}+12\pi^2b^2a^4-\pi^2b^6}{(a^2-b^2)^3} $$

Нужно привести к виду

$$ \frac{-4\pi^2(4a^4+4a^3\sqrt{a^2-b^2}-5M^2b^2-3b^2a\sqrt{a^2-b^2}+b^4)}{(a^2-b^2)^2} $$

Как это сделать?

-- Вс апр 21, 2013 01:32:35 --

То, что оно так упрощается - я проверил в maple.

-- Вс апр 21, 2013 01:34:44 --

Судя по всему числитель нужно привести к виду

$$ -4\pi^2(a^2-b^2)(...) $$

Ведь только тогда будет такой множитель перед дробью и знаменатель в ответе.
Но у меня не получается так выделить...(

[Shtorm]

bigarcus, найдите общий множитель в числителе, для этого надо кой-что сгруппировать.

[bigarcus]

Сейчас виден только общий множитель $4\pi^2$ (ну или $-4\pi^2$).

[Shtorm]

bigarcus, у Вас есть $a^6$, есть $b^6$, а ведь 6-ю степень можно представить....

[bigarcus]

Вы намекаете на

$$ (a^3+b^3)^2=a^6+2a^3b^3+b^6 $$

и

$$ (a^3-b^3)^2==a^6-2a^3b^3+b^6 $$

?

-- Вс апр 21, 2013 01:42:51 --

Но кубов ведь нету.

[Shtorm]

В общем подумайте, а $\pi^2$ конечно лучше сразу вынести. Возможно что-то вынести из под степени 3/2 придётся.

[bigarcus]

Вынес $\pi^2$

$$ \pi^2\cdot\frac{-8(a^2-b^2)^3-16a^3(a^2-b^2)^{3/2}-8a^6+12b^2a(a^2-b^2)^{3/2}+12b^2a^4-b^6}{(a^2-b^2)^3} $$

[Shtorm]

Не забывайте также, что $a^6+b^6=(a^2)^3+(b^2)^3=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)$

[bigarcus]

И вынес из-под степеней, где $3/2$ в показателе было

$$ \pi^2\cdot\frac{-8(a^2-b^2)^3-16a^3(a^2-b^2)\sqrt{a^2-b^2}-8a^6+12b^2a(a^2-b^2)\sqrt{a^2-b^2}+12b^2a^4-b^6}{(a^2-b^2)^3} $$

-- Вс апр 21, 2013 01:55:30 --

Shtorm в сообщении #713419 писал(а):

Не забывайте также

Четвёртых степеней нет при b.

[Shtorm]

Попробуйте раскрыть первую скобку в числителе и привести подобные слагаемые.

[bigarcus]

В первой скобке выделил

$$ \pi^2\cdot\frac{-8(a^4-2a^2b^2+b^4)^2(a^2-b^2)-16a^3(a^2-b^2)\sqrt{a^2-b^2}-8a^6+12b^2a(a^2-b^2)\sqrt{a^2-b^2}+12b^2a^4-b^6}{(a^2-b^2)^3} $$

И раскрыл

$$ \pi^2\cdot\frac{-8a^4(a^2-b^2)+16a^2b^2(a^2-b^2)-8b^4(a^2-b^2)-16a^3(a^2-b^2)\sqrt{a^2-b^2}-8a^6+12b^2a(a^2-b^2)\sqrt{a^2-b^2}+12b^2a^4-b^6}{(a^2-b^2)^3} $$

-- Вс апр 21, 2013 02:04:52 --

чёрт, чего конец формулы не отображается, хотя написан

-- Вс апр 21, 2013 02:05:56 --

Не пойму, какие подобные приводить - по множителям или по скобкам?

[Shtorm]

bigarcus, во-первых у Вас там ошибка, перед $b^4$ должен быть знак плюс, ну и я имел ввиду, что Вы используете формулу куб разности.

[bigarcus]

У меня же там плюс и стоит, не понял...

[Shtorm]

bigarcus в сообщении #713422 писал(а):

$$ \pi^2\cdot\frac{-8(a^4-2a^2b^2-b^4)^2(a^2-b^2)-16a^3(a^2-b^2)\sqrt{a^2-b^2}-8a^6+12b^2a(a^2-b^2)\sqrt{a^2-b^2}+12b^2a^4-b^6}{(a^2-b^2)^3} $$

Посмотрите ещё раз в первой скобке в числителе.

[bigarcus]

Формула куба разности: $(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-b^3$

А в моём примере наверное вы подразумеваете $(a^2-b^2)^3=a^6-3a^4b^2+3a^2b^4-b^6$

-- Вс апр 21, 2013 02:15:36 --

Плюс увидел и исправил.