Как привести к уравнению Бесселя

[Nikolay_F]

Здравствуйте.
Помогите пожалуйста восстановить ход решения уравнения $(x+1)y''-2ay'-a^2y=0$.
Maple пишет,что ответ будет

$$y(x) = C_1 (x+1)^{a+1/2}BesselI(-2a-1, 2a\sqrt{x+1})+C_2(x+1)^{a+1/2}BesselK(2a+1,2a \sqrt{x+1})$$

Где BesselI модифицированная функция Бесселя первого рода,
BesselK модифицированная функция Бесселя второго рода

[Ms-dos4]

Ваш случай есть в справочнике Зайцев, Полянин "справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям" в разделе лин. ур. 2-го порядка под номером 103.
Там приведена таблица для случаев, когда уравнение вида
$\[({a_1}x + {a_0}){y^{''}} + ({b_1}x + {b_0}){y^'} - m{b_1}y = 0\]$
имеет известные решения, и ваш случай есть в таблице.
Если я не ошибся в подсчёте, то частное решение вашего уравнения
$\[y = {(x + 1)^{a + \frac{1}{2}}}{Z_{2a + 1}}(2\sqrt { - {a^2}} \sqrt {x + 1} )\]$
где $\[{Z_\nu }(x)\]$ это обыкновенная функция Бесселя.
Далее приводите её к модифицированной(если хотите) и ищете второе решение уравнения(например формулой Остроградского-Лиувилля или понижением порядка). Должно получится именно то, что выдала машина.
P.S. Моя Mathematica 9 даёт ответ в другом виде (более плохом, даже после максимального упрощения)
$y\to 2^{-a} \left(c_1 \, _0\tilde{F}_1\left(;-2 a;a^2 (x+1)\right)-(-1)^{2 a} c_2 \left(a^2 (x+1)\right)^{a+\frac{1}{2}} K_{2 a+1}\left(2 \sqrt{a^2 (x+1)}\right)\right)$

[ewert]

Во-первых, замена $y(x)=u(t),\ t=\sqrt{x+1}$ приводит уравнение к виду $t\cdot u''-(1+4a)u'-4a^2t\cdot u=0$; это -- уже некий Бессель с точностью до стандартной замены вида $u(t)=t^\gamma\cdot v(t)$. Во-вторых, подбирая $\gamma$ так, чтобы коэффициент при первой производной стал плюс единичным (окажется необходимым $\gamma=1+2a$), получим $t^2\cdot v''+t\cdot v'-4a^2t^2v-(1+2a)^2v=0$, т.е. модифицированное уравнение Бесселя индекса $(1+2a)$ с точностью до замены переменной $2at=s$.

Ну т.е. Maple угадал, но по какой-то загадочной прихоти решил выбрать индексы разных знаков.

[Nikolay_F]

Спасибо большое)