Сумма

[max(Im)]

Есть такая сумма $\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{1}{2i+1},$ которая равна $\frac12\left(\Psi\left(n+\frac12\right)-\Psi\left(\frac12\right)\right),$ где $\Psi(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}.$ Хочется найти ее асимптотическое поведение при больших $n.$ Известно, что

$$ \Psi(z) \sim \ln z - \frac{1}{2z} - \frac{1}{12z^2} + \frac{1}{120z^4}-\ldots, $$

сумма в общем виде содержит числа Бернулли. Но все-таки это ряд... А можно ли найти какую-нибудь красивую асимптотику именно для этой суммы?

[Sonic86]

max(Im) в сообщении #713070 писал(а):

Но все-таки это ряд... А можно ли найти какую-нибудь красивую асимптотику именно для этой суммы?

Вообще-то асимптотика - это и есть обертывающий асимптотический ряд, либо первый член этого ряда. (можно, кстати, эту же асимптотику получить через асимптотику для гармонических чисел, которая получается через формулу Эйлера-Маклорена (в Википедии http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0% ... 0%BD%D0%B0 внизу есть), которая доказывается хотя бы без гамма- и пси-функций)

Найти сходящийся ряд к этой сумме естественно нельзя - сумма определяет функцию со счетным числом разрывов, а ряд, составленный из непрерывных функций, тоже обычно непрерывен (хотя! Я же знаю непрерывную ступенчатую функцию! Но не факт). И вообще, там обычно всегда имеется погрешность какого-то порядка. В Конкретной математике об этом упомянуто, но без уточнения и доказательства.