Задачки по теоретической механике

[Ewigersucher]

Помогите, пожалуйста, решить. Никогда бы не обратилась, но были только лекции и ни одного практического занятия. А для зачета нужны именно задачи. Пригодится любая помощь

1) Потенциальная энергия частицы равна нулю при $\sqrt{x^2+y^2}>R$ и равна $-U_0(U_0>0)$ при $\sqrt{x^2+y^2}<R$. На каком расстоянии b от оси z пролетит частица, если в точке с координатами $x_0<-R, y_0=a (0<a<R), z_0=0$ ее кинетическая энергия равнялась $T_0$, а скорость была перпендикулярна оси и составляла с осью z угол $a_0$?

2) Две частицы с массами $m_1$, $m_2$ движутся в однородном поле тяжести. Записать выражение для потенциальной энергии системы с учетом гравитационного взаимодействия между частицами. Проанализировать симметрию потенциальной энергии относительно пространственных сдвигов и поворотов. Чему равны производные по времени импульса и орбитального момента системы? Чему равны производные по времени части орбитального момента, связанной с поступательным движением системы, и части, связанной с относительным движением частиц? Сохраняются ли какие-либо компоненты импульса и орбитального момента системы?

3) Точечный заряд Q движется с постоянной скоростью V (вектор). В электрическом поле, создаваемом этим зарядом, движутся точечные заряды $q_1$, $q_2$. Записать выражение для потенциальной энергии системы зарядов $q_1$, $q_2$ с учетом взаимодействия между ними. Проанализировать симметрию потенциальной энергии относительно пространственных и временных сдвигов и пространственных поворотов и выписать интегралы движения.

[Munin]

1) Надо рассчитать угол преломления траектории частицы, когда она пройдёт ступеньку потенциальной энергии сначала вниз, потом вверх. Для этого ступеньку можно в малой окрестности считать плоской, импульс вдоль ступеньки сохраняется, а энергия меняется на величину энергии ступеньки.

2) Выражение для потенциальной энергии системы - просто сумма всех вкладов: потенциальные энергии каждой частицы во внешнем поле, и энергия взаимодействия между ними (один раз).