Неравенство.

[bot]

Это фрагмент задачи оптимального управления? Так выкладываете всё полностью - ещё должен быть функционал, который максиминизируется.

[pandreym]

ок. Задача быстродействия - конечная точка начало координат. Система и управления выписаны чуть выше.
Нужно исследовать ее. И начать с исследования существования ОУ. Этим я и пытался заняться.

Используется синтаксис LaTeX

  Пусть множество $Q(t, {\mathbf x})$ замкнуто и ограничено. Когда ${\mathbf u}$ пробегает множество $Q(t, {\mathbf x})$, то $f(t, {\mathbf x}, {\mathbf u})$
  пробегает множество, которое обозначим $R(t, {\mathbf x})$. Будем предполагать, что множество $Q(t, {\mathbf x})$ полунепрерывно сверху относительно
  включения (по $t$  и  ${\mathbf x}$), то есть что для любых $t, {\mathbf x}$ и любого ${\epsilon}$ существует такое ${\delta}$ = ${\delta}({\epsilon}, t, {\mathbf x}) > 0$, что при
  $|t{\prime} - t |< {\delta}$, $|{\mathbf x} {\prime} - {\mathbf x}| < \delta$ множество $Q(t{\prime},{\mathbf x}{\prime})$ содержится
  в ${\epsilon}$ окрестности множества $Q(t, {\mathbf x})$. Тогда множество $R(t, {\mathbf x})$ будет обладать тем же свойством полунепрерывности
  (вследствие непрерывности функции ${\mathbf f})$


  \newtheorem{Th}{Теорема}
  \begin{Th}[Филиппов]\label{thr}
    Пусть выполнены сформулированные выше условия и пусть при любых $t$ и ${\mathbf x}$ множество $R(t, {\mathbf x})$ выпукло. Пусть
    существует хотя бы одна измеримая функция $\tilde u(t) \in Q(t, \tilde {\mathbf x})$ такая, что при $u = \tilde u(t)$ решение
    $\tilde {\mathbf x(t)}$ уравнения $(1)$ с начальным $\tilde {\mathbf x(0)} = x^{(0)}$ попадает в точку $x^*$ при некотором $t^* > 0$.
    Тогда существует оптимальное управление, то есть измеримая функция $u(t) \in Q(t, \mathbf x(t))$, при которой решение$\mathbf x(t)$
    уравнения $(1)$ с начальным условием ${\mathbf x(0)} = x^{(0)}$ попадает в точку $x^*$ за наименьшее возможное время.
  \end{Th}
 

вот такая теорема. ее выполнимость пытался проверить.

[provincialka]

pandreym в сообщении #712262 писал(а):

Система такова
$ \begin{aligned} \dot x^1 &= u^1 \cdot x^2 \\ \dot x^2 &= u^2.\\ \end{aligned} $

c областью управления, определяемой неравенствами:
$ $-1 \le u^1 \le 1$, $ -1 \le u^2 \le 1$. $

В условии теоремы написано что при всех x, t, u(u принадлежит указанному множеству) должно выполняться
$ $x \cdot f(t,{\mathbf x}, {\mathbf u}) \le C(|x|^2 + 1)$$

Получается что теорема не применима.

Так, откуда в правой части квадрат нормы? В исходном посте этого не было! Совсем другое дело!

[pandreym]

Блин. Да. Прошу прощения.
Ночью набирал.
Извиняюсь.

[provincialka]

Имеем $|xy u+yv|\le |xy||u|+|y||v|\le |xy|+|y|$. Как известно, $|xy|\le\frac{x^2+y^2}{2} = 0.5r^2$ (через $r$ обозначен вектор $(x, y)$).
С отдельным игреком несколько сложнее. Если $|y|\ge 1$, то $|y|\le y^2\le r^2$. Если же $|y|<1$, эту единицу и можно считать оценкой. Она для того и введена в формулу.

[pandreym]

Спасибо.
А вот в случае $|y| < 1$, то получаем $1.5r^2$ и каким образом ограничить в нужном виде ?

-- 18.04.2013, 20:44 --

Блин. Туплю. Все получилось.
Извините.
Спасибо большое :)