Задача по анализу, 2 семестр.

[teddybrooks]

Пусть $f(x) \in C[0;+\infty)$ и $\exists \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = A \in \mathbb{R}$
Найти $\lim\limits_{n\to\infty} \int_{0}^{1} f(nx) dx$.
Понятно, что $f(x)$ ограничена на $[0;+\infty)$, тогда $f(nx)$ также непрерывна и ограничена на $[0;+\infty)$.
Можно ли проделать следующие преобразования:
$\int_{0}^{1} f(nx) dx=1/n\int_{0}^{1} f(nx) d(nx)=\frac{F(n)-F(0)}{n}$ ?
Если да, то что можно сказать о первообразной функции $f(x)$ ?

И более общий вопрос (возможно, бредовый): можно ли как-то описать класс функций, которые непрерывны на $[0;+\infty)$ и имеют конечный предел на плюс бесконечности?

[ИСН]

1. Преобразования - можно. А зачем? О первообразной можно сказать, что она торчит вверх под углом. Вы это наобум делаете или по плану? Чтобы узнать ответ, или только чтобы доказать его?
2. Описать этот класс функций можно. Вот Вы его и описали. Короче - едва ли.

[TOTAL]

teddybrooks в сообщении #711616 писал(а):

Пусть $f(x) \in C[0;+\infty)$ и $\exists \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = A \in \mathbb{R}$
Найти $\lim\limits_{n\to\infty} \int_{0}^{1} f(nx) dx$.
............
Можно ли
................
Если да, то что можно
.................................
можно ли как-то

Можно сначала решить задачу, т.е. найти $\lim\limits_{n\to\infty} \int_{0}^{1} f(nx) dx$, а потом взять на себя повышенные обязательства и ответить на сотню разных "можно".

Чему (почти) равна подынтегральная функция (почти) на всем отрезке интегрирования (при огромных $n$)? Вдруг ответ на этот вопрос поможет?

[SpBTimes]

Либо, не особо думая, можно сделать замену $t = nx$, а потом воспользоваться правилом Лопиталя

[devgen]

А нельзя сказать про такие функции, что они с кого-то $x$ должны быть монотонны?

[ИСН]

Нельзя. Да и зачем бы нам это?

[devgen]

ИСН
Да, точно $\frac{2}{x}\cdot\sin(x)+1$, например.
Ну легко показать, что последовательность таких интегралов ограниченна сверху $A$. Осталось бы сказать, что с ростом $n$ интеграл тоже растет и можно было бы утверждать, что точно есть предел.

[provincialka]

devgen в сообщении #711826 писал(а):

Ну легко показать, что последовательность таких интегралов ограниченна сверху .

Почему ограничена? Почему сверху? А не снизу, например? Вдруг функция $f$ стремится к $A$ сверху? Т.е. всегда больше этого $A$?