2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неприводимые над $\mathbb{F}_2$
Сообщение17.04.2013, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Привет! Можно ли явно указать неприводимый многолчен над $\mathbb{F}_2$ произвольной степени $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые над $\mathbb{F}_2$
Сообщение17.04.2013, 14:18 


15/06/12
56
Могу сказать, что можно для заданного многочлена за время $O(n^2)$ проверить неприводимость (Критерий Батлера). Ну или построить за среднее время $O(n^2)$ пребирая многочлены подряд. Однако на практике, помнится, я всегда находил неприводимый трехчлен (начинал перебор с трехчленов степени $n$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые над $\mathbb{F}_2$
Сообщение17.04.2013, 14:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
VladimirKr
Спасибо за ответ. Но я что-то не совсем понял, т.е. приется каждый многочлен степени $n$ проверять? Вообще мне нужно (желательно быстро) найти многочлен степени $n$ над $F_2$. Я пока не особо представляю как это провернуть без перебора....

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые над $\mathbb{F}_2$
Сообщение17.04.2013, 14:32 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
xmaister
Знаете, а вы постройте список всех неприводимых над $\mathbb F_2$ многочленов для $n$, скажем, $\leqslant 200$. Потом попробуйте поискать какие-нибудь закономерности (типа, "всегда есть неприводимый трехчлен") и даже, может быть, доказать их.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые над $\mathbb{F}_2$
Сообщение17.04.2013, 14:36 


15/06/12
56
Вероятность того, что случайный многочлен степени $n$ неприводим известна и, мне кажется, достаточно велика. Ну и распределение времени поиска неприводимого можно достаточно точно оценить. А уж устроит вас это время или нет - вам решать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые над $\mathbb{F}_2$
Сообщение17.04.2013, 14:42 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Вообще, могу посоветовать в NTL глянуть внутри GF2XFactoring.cpp, на функции BuildIrred(), BuildSparseIrred() — для степеней не выше $2048$ есть неприводимые пятичлены, но не всегда трехчлены: например, все трехчлены восьмой степени приводимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые над $\mathbb{F}_2$
Сообщение17.04.2013, 15:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
VladimirKr в сообщении #711548 писал(а):
Вероятность того, что случайный многочлен степени $n$ неприводим известна и, мне кажется, достаточно велика. Ну и распределение времени поиска неприводимого можно достаточно точно оценить. А уж устроит вас это время или нет - вам решать.

Мне это все не известно, к сожалению. Дадите ссылку где посмотреть?Joker_vD
Спасибо, ща глянем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые над $\mathbb{F}_2$
Сообщение17.04.2013, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Вообще для не шибко больших $n$ наверное и обычное решето сгодится...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые над $\mathbb{F}_2$
Сообщение17.04.2013, 16:39 


15/06/12
56
Цитата:
Мне это все не известно, к сожалению. Дадите ссылку где посмотреть?

Как пользоваться критерием Батлера я давал ссылку выше.
Количество унитарных неприводимых многочленов над $\mathbb{F}_q$ степени $n$ равно $\frac 1 n\sum\limits_{d|n}q^{d}\mu(\frac n d)$
Очень грубо говоря, каждый $n-$ый. Ну и значит, среднее время нахождения при случайном выборе где-то $O(n^3)$
Посмотреть можно, например, в Лидл,Нидеррайтер "Конечные поля"
Кроме этого, например, Степанов С. А. "О числе неприводимых над конечным полем многочленов заданного вида"

-- 17.04.2013, 17:41 --

xmaister в сообщении #711613 писал(а):
Вообще для не шибко больших $n$ наверное и обычное решето сгодится...

Ну, сложность такого поиска экспоненциальна от $n$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group