Простой диффур (потеря решения)

[Limit79]

$(y^2+xy^2) y' + x^2 - yx^2=0$

Разделяю переменные:

$\frac{y^2 dy}{y-1} = \frac{x^2 dx}{x+1}$

В итоге получаю общий интеграл ДУ:

$\frac{y^2}{2} + y + \ln|y-1| - \frac{x^2}{2} + x - \ln|x+1| = C$

Насколько я понимаю, на втором шаге теряются возможные решения $y=1$ и $x=-1$, верно ли?

Проверяю, не является ли $y=1$ решением данного уравнения, подставляю $y=1$ в исходное уравнение ($y'=0$):

$(1+x) \cdot 0 + x^2 - x^2=0$

$0=0$, то есть $y=1$ является решением уравнения.

Переписываю исходное уравнение в виде:

$(y^2+xy^2) + (x^2 - yx^2) \cdot x'=0$

И подставляю $x=-1, x'=0$:

$(y^2-y^2) + (1 - y) \cdot 0=0$

$0=0$

То есть $x=-1$ тоже является решением исходного ДУ.

Насколько я понимаю, в общем интеграле ДУ не содержится ни одно из этих двух решений, так как при любой константе у нас останется функция двух переменных.

Подскажите, пожалуйста, верны ли мои размышления?

[provincialka]

Решения $x=\operatorname{const}$ у такого уравнения быть не может, решением является функция $y=f(x)$

[Limit79]

provincialka
То есть $y=1$ будет решением, а $x=-1$ - нет?

Но почему $x=-1$ не будет являться решением? (Если записать исходный диффур в виде $(y^2+xy^2) + (x^2 - yx^2) \cdot x'=0$)

UPD: И почему только явная функция $y=f(x)$? А как же общий интеграл $f(x,y)=C$?

[ИСН]

Если записать исходный диффур в таком виде, то получится другой диффур

-- Ср, 2013-04-17, 14:58 --

(в смысле, не такой, как исходный)

[Limit79]

ИСН
Почему? Разделил/умножил. Так же меняют в некоторых линейных ДУ, вроде...

[provincialka]

Вас в школе учили, что на 0 делить нельзя? Чему равна производная $y'$ для решения $x=1$?
Если уравнение в дифференциалах, там ни dx ни dy не в знаменателе

[Limit79]

provincialka
Если $y' = \frac{dy}{dx}$, то будет деление на ноль.

-- 17.04.2013, 15:18 --

provincialka
Тогда я не понимаю, почему, например, вот здесь пишут, что:

Цитата:

...его решения $x=0$ ... не были потеряны

?

В исходном диффуре там тоже только $y'$.

-- 17.04.2013, 15:51 --

Тогда вот тут куча ошибок, ибо в самом сборнике Филиппова, утверждается, что $x=f(y)$, и $x=C$ в частности, в принципе не могут быть решениями данного диффура:



Либо я что-то не так понимаю.

[provincialka]

А что непонятного? Если бы сказали, что $x=0$ потеряно, или что $x=0$ - решение, вот это было бы странно. Филиппов говорит то же, что и мы.