интеграл от exp и erfc

[salang]

не получается решить в символьном виде в Mathcad:

$$\int_{0}^{\infty}\exp(-ax)erfc(bx+c) dx$$

Mathematica дает ответ для неопределенного интеграла, после подстановки пределов получается выражение
$1/a(\exp(a(4bc+a)/4b^2)erf(a/2b+c)+erfc(c))$,
но после подстановки реальных значений график результирующей функции не строится. Он получается только для выражения:
$1/a(\exp(a(4bc-a)/4b^2)erf(a/2b+c)+erfc(c))$
Можно еще как-то узнать решение этого интеграла? Спасибо

[ИСН]

Расписать erfc по определению, переставить интегралы местами и взять руками (внутренний берётся так, внешний - опять же через erf).
Скорее всего, получится то же самое, что и железякой.

[salang]

у меня по частям не получилось, т.к. производная произведения экспоненты и erf получается еще сложнее, чем исходный интеграл.

[ИСН]

Вы это сказали в связи с моим сообщением, или без связи с ним? Если в связи, то я вроде такого не предлагал. Если без связи, то зачем это и откуда?
(Вообще-то по частям - тоже хорошая идея, но делать это надо не так.)

[salang]

я так понял, что предлагалось по частям. Если нет- тогда хотелось бы узнать как

[ИСН]

Предлагалось расписать erfc по определению. Каково его определение? Это какой-то там интеграл от чего-то. Вот и распишите его по определению. Получится тупо два интеграла, один внутри другого. Потом предлагалось переставить интегралы местами, чтобы тот, который был внутренним, стал наружным, и наоборот. При этом надо проделать какую-то магию с пределами интегрирования. Потом станет ясно.

[salang]

я думал, что под определением подразумевается $erfc(x)=1-erf(x)$. С определением самого erf

$$2/\sqrt{\pi}\int_0^x \exp(-t^2) dt$$

мне кажется, что все будет сложно. Сразу возникает вопрос с верхним пределом x, а у меня бесконечность

[ИСН]

Ну да, вот это и имел в виду, а что? Никакого вопроса с верхним пределом x не возникает. Он же в первом интеграле указан с самого начала. Как Вы справедливо отметили, это бесконечность.

[salang]

а каким образом отразится на интеграле от 0 до x замена аргумента erf на bx+c вместо x ?

[ИСН]

Очевидно, интеграл будет до bx+c.

[salang]

как сделать, чтобы после интегрирования переменной интегрирования не было в выходной функции? Вот определение erfc через интеграл:

$$erfc(bx+c)=2/\sqrt{\pi}\int_{bx+c}^\infty \exp(-t^2) dt$$

. Получается, что и в первообразной будет переменная t , по которой производится интегрирование. В определенном интеграле так же быть не должно?

[ИСН]

Не понимаю, о чём вопрос. Конечно, не должно. Её там и нет. Где Вы её видите? Я вижу там (в первообразной) только b, x и c.

[salang]

с заменой переменной x на bx+c у меня получилось так:
$\int_{0}^\infty erfc(bx+c)\exp(-ax)dx=\int_{0}^\infty 2/\sqrt{\pi}\int_{bx+c}^\infty \exp(-t^2)\exp(-ax) dxdt=2/\sqrt{\pi}\int_{bx+c}^\infty \int_{0}^\infty \exp(-t^2)\exp(-ax) dxdt=$
$=2/\sqrt{\pi}\int_{bx+c}^\infty \sqrt{\pi}/2\exp(-ax)\exp(-ax) dx=2/\sqrt{\pi}\int_{t}^\infty (\sqrt{\pi}/2)(1/b)\exp(-a(t/b-c/b))dt=-1/ab\exp(-a(t/b-c/b))\bigg|_t^\infty=$
$=-1/ab(\exp(-\infty)-\exp(-a(t/b-c/b)))=1/ab\exp(-a(t/b-c/b))$

[ИСН]

Перестановка интегралов местами - это штука опасная и лукавая. Какие сначала были интегралы и пределы у них? $\int\limits_0^\infty\int\limits_{bx+c}^\infty(\dots)dt\,dx$ А каков смысл этой записи? "Интегрируем сначала по t в пределах от bx+с до упора - получается выражение без t, но с x - и потом уже его интегрируем по x от 0..." Так. А Вы что с этим сделали? Как переставили? Какой интеграл стал внутренним? Какая переменная исчезла после первого интегрирования? t или x? У Вас после этого места почему-то они обе фигурируют.

[salang]

ИСН в сообщении #711217 писал(а):

Перестановка интегралов местами - это штука опасная и лукавая. Какие сначала были интегралы и пределы у них?

В учебнике исходная формула такая:

$$erfc(x)=2/\sqrt{\pi}\int_{x}^\infty \exp(-t^2) dt$$

. Основной интеграл- от 0 до бесконечности.

ИСН в сообщении #711217 писал(а):

Интегрируем сначала по t в пределах от bx+с до упора - получается выражение без t, но с x - и потом уже его интегрируем по x от 0..."[/i] Так. А Вы что с этим сделали? Как переставили? Какой интеграл стал внутренним? Какая переменная исчезла после первого интегрирования? t или x? У Вас после этого места почему-то они обе фигурируют.

Прменял местами внутренний с внешним. Внутренним стал внешний.