Идеальный газ

[lucien]

Показать, что уравнение состояния классического идеального газа не зависит от закона дисперсии $\varepsilon(p)$, т.е. при любом $\varepsilon(p)$ будем иметь

$$ PV=NkT\,. $$

Этот красивый результот наверняка должен иметь простое обоснование (я наткнулась на него прямым вычислением).

[mihiv]

Но вот, например, для релятивистского газа $PV=\frac 13E$, вместо обычного: $PV=\frac 23E$. Отличие есть, казалось бы.

[lucien]

Для ультрарелятивистского газа $E=3NkT$ и получаем (1).

-- 16.04.2013, 14:51 --

Если же газ просто релятивистский (без ультра), то формула $PV=\frac 13E$ неверна.

[fizeg]

lucien в сообщении #710374 писал(а):

Этот красивый результот наверняка должен иметь простое обоснование (я наткнулась на него прямым вычислением).

А как именно, если не секрет?

Вы можете повторить путь, которым приходит уравнению состояния Ландафшиц в пятом томе. Для классического идеального газа с любой энергией независящей от координаты при вычислении статсуммы $Z=\sum_k e^{-E_k/T}$ интегрирование по координате даст множитель пропорциональный объему (и естественно объем этот больше не вылезет нигде) Свободная энергия дается как
$F=-T \ln Z=-NT\ln{eV/N}+N f(T)$
Давление же равно $p=-\frac{\partial F}{\partial V}=\frac{NT}{V}$ а отсюда получаем уравнение состояния

[lucien]

fizeg в сообщении #723340 писал(а):

А как именно, если не секрет?

К сожалению, простого доказательства я сама не знаю. Обнаружила это свойство прямым вычислением.

Решение 1. Функция распределения $f(p)$ для идеального газа имеет вид

$$ f(p)=Ae^{-\frac{\varepsilon(p)}{kT}}p^2\,,\q A=\left[\int_0^{\infty}e^{-\frac{\varepsilon(p)}{kT}}p^2dp\right]^{-1}\,. $$

Число частиц, сталкивающихся с единичной площадкой за единицу времени равно

$$ d\nu=\frac{n}{2}\,vf(p)dp\sin\theta\cos\theta d\theta. $$

Переданный импульс (давление)

$$ dP=nvpf(p)dp\sin\theta\cos^2\theta d\theta\q\Rightarrow\q P=\frac13 n\langle vp\rangle. $$

Для вычисления $\langle vp\rangle$ воспользуемся равенством

$$ pf'(p)=-\frac1{kT} vpf(p)+2f(p). $$

Интегрируя это соотношение, получаем

$$ -1=-\frac1{kT}\langle vp\rangle+2\q\Rightarrow\q \langle vp\rangle=3kT\,. $$

Итого

$$ PV=NkT\,. $$

Потом, как и Вы, заглянула в ЛЛ5 и нашла более академическое решение (которое, однако, не проясняет сути этого результата).

Решение 2.

$$ F=-NkT\ln Z\,,\q Z(V,T)=\int e^{-\frac{\varepsilon(p)}{kT}}\frac{Vd^3p}{(2\pi\hbar)^3}=VZ_1(T). $$

$$ P=-\frac{\partial F}{\partial V}=\frac{NkT}{V}\,. $$

[lucien]

В параллельной ветке [url=http://dxdy.ru/post720588.html#p720588] замечено, что уравнение состояния не меняется и при переходе к N-мерию. Удивительная "форминвариантность"!