отношение эквивалентности как lim=1

[devgen]

Будем говорить, что $f(x)\sim g(x)$, если $\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=1$. Нужно построить пример, что бы из $f(x)\sim g(x)$ следовало $f(x)^2\sim g(x)^2$, но не $\exp{f(x)}\sim \exp{g(x)}$

$\lim\frac{f(x)^2}{g(x)^2}=\lim(\frac{f(x)}{g(x)})^2=1^2=1$
$\lim\frac{\exp{f(x)}}{\exp{g(x)}}=\lim\exp({f(x)-g(x)})=\lim\exp({f(x)(1-\frac{g(x)}{f(x)})})=??$

Нужно, чтобы $f(x)$ стремилось к бесконечности быстрее, чем $\frac{g(x)}{f(x)}$ к $1$?

[arseniiv]

Можно же остановиться на $\ldots = \lim\exp(f(x)-g(x))$. Разности не надо стремиться к нулю.

[devgen]

arseniiv
Да, даже $x$ и $x+1$ подходит . Спасибо