Найти инфимум и супремум последовательности

[kostghost]

Собственно, прошу помочь с заданием:
Есть ли в последовательности $x_n$ наибольший и наименьший элементы, если $x_n = \frac{ \sqrt{n}}{n+100}$?
Найти $\sup x_n$ и $\inf x_n$

Существование верхней и нижней грани легко доказывается. Можно показать, что это могут быть 0 и 1.
По логике понятно, что наименьшего элемента не будет, наибольшим будет $\frac{1}{20}$ при $n = 100$ (впрочем, я это понял только когда привел аналогию с функцией и нашел её производную, чего делать скорее всего не следует).
С супремумом и инфимумом вообще не приложу ума, что делать нужно.

[provincialka]

Почему не следует? Производная в этом деле - большая помощница. Хотя при желании, конечно, можно пользоваться и неравенствами междусоседними членами последовательности.

Если в множестве есть наибольший элемент, он и будет супремумом.
Наименьшего нет, поэтому приходится действовать по определению.

1. Выдвигаем гипотезу, чему равен инфимум.
2. Доказываем, что это число - нижняя грань.
3. Доказываем, что никакое большее число не является нижней гранью.

П.1 вам понятен? Гипотеза уже есть?

[cool.phenon]

Примените неравенство Коши к знаменателю, а затем проверьте знак равенства. (супремум достигается-вы уже сами это показали.)
А вот существование точной нижней грани нужно доказать - по определению.

[kostghost]

provincialka
Отлично, то есть можно сослаться на производную в этом случае, то есть т.к в этой точке достигается максимум функции $f(x): \mathbb R \to \mathbb R$ то и будет достигаться максимум $f(n): \mathbb N \to \mathbb R$?

Да, понятно
1. 0
2. Доказано
3. Сейчас попробую.

cool.phenon
Спасибо, о неравенстве Коши я сразу не подумал (да и не уверен, знал ли его раньше) Это и правда убедительней первого метода