Предел функции многих переменных

[SpBTimes]

Давно интересует такой вопрос, и я все никак не могу найти на него достойный ответ.
Пусть, скажем, мы хотим найти предел $\lim\limits_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y)$, и нам удобно перейти к полярным координатам $x = r \cdot \cos(\varphi), y = r \cdot \sin (\varphi)$. Тогда, если предел $\lim \limits_{(r, \varphi) \to (r_0, \phi_0)} f(r \cos(\varphi), r \sin(\varphi))$ существует и равен $A$, то мы можем утверждать, что $\lim\limits_{(x, y) \to (x_0 = r_0 \cos(\varphi_0), y_0 = r_0 \sin(\varphi_0))} f(x, y) = A$, и наоборот.
Я даже понимаю почему.

$\lim\limits_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A$, то есть $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall (x,y) : 0 < \rho((x,y); (x_0; y_0)) < \delta \Rightarrow |f(x,y) - A| < \varepsilon$. Заменим $x = r \cos(\varphi), y = r \sin(\varphi)$, тогда:
$\rho((x,y); (x_0; y_0)) = \sqrt{(r \cos(\varphi) - r_0 \cos(\varphi_0))^2 - (r \sin(\varphi) - r_0 \sin(\varphi_0))^2} = \sqrt{r^2 + r_0^2 - 2rr_0\cos(\varphi - \varphi_0)}$. Последнее - метрика в $\mathbb{R}_{+} \cdot [0; 2 \pi)$.
Ну а тогда условия $\rho((x,y); (x_0; y_0)) < \delta$ и $ \sqrt{r^2 + r_0^2 - 2rr_0\cos(\varphi - \varphi_0)} < \delta$ эквивалентны, так что мы и получаем, что $\lim\limits_{(r, \varphi) \to (r_0, \varphi_0)} f(r \cos(\varphi), r \sin(\varphi)) = A = \lim\limits_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x,y)$

Это верно?
А есть ли общая теорема какая-то?

[Shtorm]

SpBTimes, а как это всё будет действовать при $x \rightarrow \infty, y \rightarrow \infty$ или $x \rightarrow 0, y \rightarrow \infty$ ?

[SpBTimes]

В первом случае $r \to \infty , \varphi \in [0; 2 \pi) - \{\pi/2k\}$, где $k =0,1,2,3$, иначе не выполнено стремление метрики к бесконечности. Для остальных углов предел д.б. одним и тем же, иначе его нет. Во втором только два значения угла, и для них все должно быть аналогично

[_Ivana]

Суть проблемы не понял, поэтому выскажу банальности: при поиске предела функции от 2 переменных при аргументах, стремящихся к нулю, мы переходим в полярную систему координат и ищем предел функции новых переменных при $r$ стремящемся к 0 для любых значений $\varphi$. Если этот предел существует и не зависит от $\varphi$, то значит существует исходный предел функции (он не зависит от направления стремления к своим значениям исходных переменных), если нет - то исходный предел не существует. В случае, если в исходной функции аргументы стремятся не к нулю, то предварительно делается замена переменных, сводящих задачу к поиску предела при стремящихся к нулю обоих переменных.

[SpBTimes]

_Ivana
Как делать - понятно. Проблема в другом - как обосновывать?

[_Ivana]

1. Обосновать для стремления к нулю.
2. На все вопросы типа "а как это всё будет действовать при" - делать замену переменных, сводить к стремлению к нулю и отвечать - "никаких при".
Или я опять не понимаю вопроса? Или вы скажете - а как выполнить пункт 1?

[SpBTimes]

Нет, первый пункт уже выполнен мной и так.
Тогда хотелось бы услышать, правильно ли обосновано?

-- Вс апр 14, 2013 18:27:19 --

И есть ли какие-то общие теоремы о замене? Скажем, любая ли непрерывная, или может быть компактная замена будет хорошей? Не для каждой же обосновывать

[_Ivana]

Простите, я не знаю терминов "метрика" и т.п., но в вашем первом посте я не вижу главной идеи - по сути вы делаете замену переменных и оставляете стремление обеих новых переменных к своим новым значениям. Вас интересует вопрос правомерности подобной конкретной замены? Давайте предложу любую другую замену: $x \to x+1, y \to y+1$. Но даже если решить вопрос корректности вашей предложенной замены - чем это поможет нам в нахождении предела? У вас как были две независимо стремящиеся переменные, так и остались. В моей написанной банальности остается одна переменная для поиска предела.

[SpBTimes]

_Ivana в сообщении #710109 писал(а):

В моей написанной банальности остается одна переменная для поиска предела.

То, что остается одна, как раз следует из док-ва выше. Так как при $r \to 0$, в силу ограниченности $\sin(\varphi), \cos(\varphi)$, $\varphi$ может быть любым, т.е. для существования предела необходимо и достаточно, чтобы предел ф-ии от $r$ был равномерным по $\varphi$.

А корректность нужно обосновывать и для нуля, конечно.

[_hum_]

SpBTimes в сообщении #709889 писал(а):

Это верно?
А есть ли общая теорема какая-то?

Вы не про теорему о пределе композиции отображений ведете речь?

[SpBTimes]

_hum_
Хм, а ведь и правда, из нее наверное все следует.