Принцип Гейне — Бореля и рациональные отрезки

[Doctor Faust]

Как можно показать, что принцип Гейне — Бореля не выполняется в $\mathbb Q$?
Когда пытался понять, почему это утверждение верно в $\mathbb R$, рассуждал следующим образом. Пусть, например, $I=[0,1]$ есть покрываемый отрезок, а $S=\{U\}$ — система интервалов $U$, являющася его покрытием. Построим $S$, например, так: $0$ засовываем в интервал $(-1,1/10)$, остальное покрывается последовательностью интервалов $(0, n/(n+1))$, $n\in \mathbb N$, правые «концы» которых неограниченно приближаются к $1$. Непокрытой останется только сама единичка. Значит, нам нужно найти интервал, в который эта единичка входит (например, её $\varepsilon$-окрестность) и добавить его к остальным интервалам. Но добавленный таким образом интервал $(1-\varepsilon, 1+\varepsilon)$ своей левой частью (обозначим её как $E=(1-\varepsilon, 1]$) «перекроет» бесконечное число правых «концов» интервалов из покрытия, сделав эти интервалы ненужными. То есть, в этом случае $\exists N(\varepsilon)\in \mathbb N \forall x\in I((x>N/(N+1))\to (x\in E))$. Оставляя только те интервалы, правые «концы» которых меньше, чем $N/(N+1)$ (а таких интервалов конечное число), а также интервал $(-1, 1/10)$, получаем конечное подпокрытие.
Но что меняется, если мы рассматриваем тот же отрезок $I=[0,1]$, оставив в нём только рациональные числа? На каком шаге это рассуждение становится неверным?

[Xaositect]

C этим рассуждением все хорошо, оно показывает, что из любого покрытия вида $\{(0, \frac{n}{n+1})|n\in\mathbb{N}\}\cup \{(1-\varepsilon, 1+\varepsilon)\}$ можно выбрать подпокрытие. Значит, контрпример будет иметь другую структуру. Для того, чтобы найти контрпример, надо брать не пример использования, а доказательство леммы и смотреть, где оно не проходит.

[SpBTimes]

Предел последовательности рац. точек может и не быть рац точкой. В этом и будет проблема.

[Doctor Faust]

Xaositect в сообщении #709730 писал(а):

C этим рассуждением все хорошо, оно показывает, что из любого покрытия вида $\{(0, \frac{n}{n+1})|n\in\mathbb{N}\}\cup \{(1-\varepsilon, 1+\varepsilon)\}$ можно выбрать подпокрытие. Значит, контрпример будет иметь другую структуру. Для того, чтобы найти контрпример, надо брать не пример использования, а доказательство леммы и смотреть, где оно не проходит.

Доказательство леммы (через деление на половинки) опирается на принцип Коши — Кантора. Значит, нужно сначала понять, почему этот принцип не работает в $\mathbb Q$. Первая пришедшая мысль — определить концы вложенных отрезков как последовательные приближения к $\sqrt 2$ снизу и сверху. Тогда общей точки в $\mathbb Q$ у них, насколько я понимаю, быть не должно. Это верно?

[SpBTimes]

Doctor Faust в сообщении #709761 писал(а):

Это верно?

Да, верно. Выше как раз об этом писалось

[Doctor Faust]

Тогда понятно, что нужно рассматривать отрезок $I=[0, \sqrt 2]$, например. Покрытие строим так: $0$ идёт в $(-\frac{1}{10}, \frac{1}{10})$, а остальное — в $(0, \frac{n}{n+1}\cdot \sqrt 2)$, $n\in \mathbb N$. Поскольку $\sqrt 2$ в $\mathbb Q$ нету, то и покрывать его не надо.
И из такого покрытия конечного подпокрытия уже не выберешь, так?

[Xaositect]

Да.
Ну или если хочется $[0,1]$, то можно на $[0,1]$ взять какую-нибудь иррациональную точку и построить такие же семейства слева и справа.

[Doctor Faust]

Стоп, а что такое «$[0, \sqrt 2]$ в $\mathbb Q$»? То есть, как мы определяем этот промежуток? Сначала берём обычный $[0, \sqrt 2]$ в $\mathbb R$, а потом убираем из него всё иррациональное? Но ведь то, что получится, уже будет не отрезком, а полуинтервалом? А в лемме речь идёт именно об отрезках.

[Someone]

Вам же Xaositect написал, как следует поступить.

[Doctor Faust]

Да, я уже разобрался