Уравнение окружности

[softfan]

Как понять: Квадрат расстояния от точки A до B(центр окружности)
Как понять квадрат расстояния?

[Lion]

Расстояние --- это число, сопоставляемое каждой паре точек на плоскости. Вы ведь можете возвести число в квадрат? То, что получилось, и есть квадрат расстояния.

[softfan]

Составим уравнение окружности с центром в точке A_o (a; b) и радиусом R. Возьмем произвольную точку A (x; y) нак окружности. Расстояние от нее до центра A_O равно R. Квадрат расстояния от точки А до A_o равен (x - a)^2 + (y - b)^2. Таким образом, координаты x, y каждой точки А окружности удовлетворяют уравению (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2

Вот я этого не понимаю, ну получается намного больше чем R^2 по формуле (x - a)^2 + (y - b)^2.....
ПОЖУЛУЙСТА, ПОМОГИТЕ....

[Lion]

У нас есть евклидова плоскость. На этой плоскости есть точки. Между точками есть расстояния. Расстояния --- это числа. Есть различные формулы, по которым можно находить расстояния (т.е. эти числа) в зависимости от положений точек.

Например, можно ввети декартову систему координат, тогда местоположение каждой точки на плоскости можно охарактеризовать двумя числами, которые называются координатами этой точки в данной системе координат. Так вот формула, по которой можно найти расстояние между точками $A$ с координатами $(x_A;y_A)$ и $B$ с координатами $(x_By_B$ записывается так: $\rho(A;B)=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$, где $\rho(A;B)$ --- расстояние между точками $A$ и $B$. Это следует из теоремы Пифагора, доказательство есть в любом учебнике геометрии.

Окружность --- это множество точек, равноудаленных от данной на фиксированное расстояние $R$, называемое радиусом окружности. Пусть точка $O(x_0;y_0)$ --- центр окружности, $R$ --- радиус и $A(x;y)$ --- произвольная точка на этой окружности. Тогда условие того, что точка $A$ удалена от точки $O$ на расстояние $R$, записывается так: $R=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$. Возводя в квадрат обе части этого равенства, получаем искомое уравнение.

Понятно

[softfan]

не совсем, от чего начинается отсчет координат? Ну допустим у меня вышло так:
O (4 ; 4)
A (7 ; 6)
Радиус - 1,5

$R=\sqrt{(7-4)^2+(6-4)^2}$ (3,6055, а радиус 1,5) --- не получается, или я что-то не понимаю... читал Погорелова, так там вообще просто написано (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
не пойму

[Amigo]

Точка А (7;6) - не лежит на окружности с центром в точке О(4:4) и радиусом 1,5..
А вот точка А(5,5;4) - лежит.

[softfan]

Amigo

а от чего вы делаете делаете отсчет координат? я от xy(0;0)
Как это не лежит? Лежит

[Lion]

softfan писал(а):

Amigo

а от чего вы делаете делаете отсчет координат? я от xy(0;0)
Как это не лежит? Лежит

С чего Вы взяли? Если координаты точки не удовлетворяют уравнению окружности, которое Вы написали, значит, точка не лежит на окружности.

[softfan]

странно, не пойму, нарисовал на бумаге, лежит на окружносте

[Lion]

softfan писал(а):

странно, не пойму, нарисовал на бумаге, лежит на окружносте

Выложите, пожалуйста, картинку, как Вы это сделали.

[Amigo]

Поймите правильно: на плоскости можно разместить сколь угодно много окружностей. Среди них будут и такие, которые между собой не пересекаются(т.е. круги задаваемые этими окружностями не пересекаются), что возможно лишь если они имеют разные центры. Таким образом слово "центр" является ключевым в Вашем не понимании вопроса. Центр можно выбрать где угодно на плоскости, а затем от него можно откладывать, каие угодно расстояния, лишь бы оно в каждом отдельном случае было постоянным и "во все стороны". В Вашем примере, Вы ФАКТИЧЕСКИ рассматриваете окружность в ЦЕНТРЕ О(4;4), однако не заметно для себя(забыв про это) начинаете строить рассуждения исходя из того, что центр находится в точке О(0;0), Тут и возникает Ваше не понимание.

[softfan]

http://rapidshare.com/files/39106381/scan.gif.html
Вот у меня так вышло...

[Brukvalub]

Неверно, что радиус равен 1.5. Он равен

\[\sqrt {10} \]

[Алексей К.]

softfan писал(а):

Вот у меня так вышло...

Любезный, Вы попытались сделать точный рисунок --- взяли бумагу в клеточку,
циркуль, - это полезно, чтобы разобраться в геометрической проблемке.
Но, сказав А, надо сказать Б: почему тогда точка А=(7,6) нарисована не в узлах сетки,
а где-то в положении примерно (6.75,6.00) ?

Далее, 1.5 Вы, наверное, получили с помощью линейки.
Однако измерьте той же линейкой свои 6, например, --- и Вы получите 3 (три сантиметра).

Поэтому --- давайте уж не экономить, а для изображения координаты 6
исмользовать не 6 клеточек, а 6 сантиметров (т.е 12 клеточек).
Естественно, так же поступим с остальными координатами.

Переделываем всё. Вроде Вы человек трудолюбивый...

Добавлено спустя 14 минут 25 секунд:

Re: Уравнение окружности

softfan писал(а):

Как понять: Квадрат расстояния от точки A до B(центр окружности)
Как понять квадрат расстояния?

А так. Взять пару точек, и сосчитать расстояние между ними.
Точки, для простоты, взять целочисленные.
Потом взять другую пару точек, и снова сосчитать расстояние между ними
(проверять ответ линейкой). И так, наверное, 5-6 раз.

При этом Вы заметите, что сначала считали некую величину (круглую, хорошую),
а потом извлекали из неё квадратный корень, и он получался некруглым и плохим,
(кроме редких случаев типа A=(2,5) и B=(6,8) ).
Вот та круглая и хорошая величина и была квадратом расстояния, но к сожалению, не самим расстоянием.


Зачем кому-то понадобился квадрат расстояния???
Например, затем, чтобы проверить равенство $R=\sqrt{x^2+y^2}$ для тысячи точек $(x,y)$, т.е. ответить на вопрос:
"Какие точки из этой тысячи расположены на расстоянии $R$ от начала координат (или ближе, или дальше)?"
Достаточно проверить равенство $R^2=x^2+y^2$ для квадрата расстояния,
и не мучаться 1000 раз с извлечением квадратного корня.

Вот так.
При проделывании всего этого на столе должна лежать теорема Пифагора.

[softfan]

тю блин, спасибо. Я считал по клеточкам, нужно в см.
Вот я дурак...