Характеристическая функция

[Nikolai Moskvitin]

Читаю сейчас книгу Хаусдорфа. Дошёл до характеристической функции. Этот автор понимает под разностью $B\setminus{A}$ только такую, когда $A\subseteq{B}$. Его определение характеристической функции таково:
"каждому подмножеству $A$ фиксированного множества $E$ можно взаимно однозначно отнести некоторую определённую на $E$ функцию $f(x)$, которая принимает только два значения $0$ и $1$, полагая $f(x)=1$, если $x\in{A}$, $f(x)=0$, если $x\in{E-A}$"
А можно ли обобщить понятие характеристической функции на случай, когда $/{A\subseteq{B}}?$ И ещё- отличается ли определение Хаусдорфа характеристической функции от современного?

[Mysterious Light]

В моём понимании множество всех функций $B\to\{0,1\}$ имеет естественную биекцию в множество всех подмножеств $P(B)=\{A\;|\;A\subseteq B\}$. Такая биекция естественна: $A=f_A^{-1}(1)\subseteq B$. Если рассматривается $A$, которое содержит элементы вне $B$, то нельзя функцией на $B$ охарактеризовать $A$ полностью.