Что такое полная система образующих групп?

[qwertz]

Встретилась задача с такой формулировкой: "Найти полную систему образующих групп". Как я понимаю, образующая группа — это группа, содержащая образующий элемент (первообразный корень). А что такое полная система образующих групп?
Речь идет о мультипликативных группах кольца вычетов по модулю.

[ИСН]

Понятия "образующая группа" нет. А надо найти образующие элементы.

[spyphy]

там точно нету Ы в конце? может "Найти полную систему образующих группЫ"?
в любом кольце только одна мультипликативная группа.

[qwertz]

spyphy в сообщении #708938 писал(а):

там точно нету Ы в конце? может "Найти полную систему образующих группЫ"?
в любом кольце только одна мультипликативная группа.

Да, точно. Найти полную систему образующих группы $(Z/21Z)^*$. Но о каких образующих может идти речь, если в мультипликативной группе кольца вычетов по модулю $21$ их нет. Ведь они существуют только по модулям $1, 2, 4, p^k, 2p^k$, при $k > 2$.

[AV_77]

Система образующих есть в любой группе. Она же не обязана из одного элемента состоять.

Кстати, что такое полная система образующих?

[qwertz]

AV_77 в сообщении #709214 писал(а):

Система образующих есть в любой группе. Она же не обязана из одного элемента состоять.

Кстати, что такое полная система образующих?

Вот этого я и не понимаю. Можете объяснить?

[ИСН]

Ну тупо берём такие два элемента и начинаем их множить друг на друга и сами на себя, как попало. Множим, множим, и хоп! - получилась группа.

[AV_77]

qwertz в сообщении #709225 писал(а):

Вот этого я и не понимаю. Можете объяснить?

У вас какое определение полной системы? Просто я такого термина не встречал.

[qwertz]

ИСН в сообщении #709231 писал(а):

Ну тупо берём такие два элемента и начинаем их множить друг на друга и сами на себя, как попало. Множим, множим, и хоп! - получилась группа.

$(Z/21Z)^* = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20}$ — мультипликативная группа.
Нужно найти полную систему образующих этой группы. Как их найти я знаю (есть алгоритм). Этими образующими должны быть классы: $8, 10$.
1) Почему они являются образующими?
2) И что значит полная система образующих?

[ИСН]

Образующими они являются потому, что если с ними делать то, что я описал в предыдущем сообщении, то они образуют группу.
Полная - наверное, значит, что они образуют всю группу.
Слово "классы" следует помнить, но не использовать.

-- Пт, 2013-04-12, 22:54 --

Слово "должны" надо заменить на "могут". Не должны.

[AV_77]

ИСН в сообщении #709273 писал(а):

Полная - наверное, значит, что они образуют всю группу.

Это возможно, но странно. Либо система порождает всю группу и тогда она система образующих, либо нет, и тогда она системой образующих не является.

[qwertz]

ИСН в сообщении #709273 писал(а):

Образующими они являются потому, что если с ними делать то, что я описал в предыдущем сообщении, то они образуют группу.
Полная - наверное, значит, что они образуют всю группу.
Слово "классы" следует помнить, но не использовать.

-- Пт, 2013-04-12, 22:54 --

Слово "должны" надо заменить на "могут". Не должны.

Странно, ну всячески перемножив элементы $8, 10$, получил: $64 (mod 21), 80 (mod 21), 100 (mod 21)$, т.е: $1, 14, 16$. Группой не является, т.к не для всякого элемента существует обратный. Или я Вас неправильно понял?

[AV_77]

qwertz в сообщении #709303 писал(а):

Группой не является, т.к не для всякого элемента существует обратный.

$80 \equiv 17 \pmod{21}$.

Прежде, чем какие-то примеры строить, разберитесь с формулировкой задания. Что надо найти. А так да, пара $8, 10$ является одним из возможных образующих множеств.

[ИСН]

Когда у Вас был один образующий элемент и циклическая группа, каким образом этот образующий, эээ, образовывал всю группу? Какими действиями? Что Вы с ним делали? Множили его на себя один раз и всё?

[qwertz]

ИСН в сообщении #709309 писал(а):

Когда у Вас был один образующий элемент и циклическая группа, каким образом этот образующий, эээ, образовывал всю группу? Какими действиями? Что Вы с ним делали? Множили его на себя один раз и всё?

В общем, походу я с терминологией запутался. Когда была циклическая группа и один образующий, то все элементы группы можно было представить в виде степени этого образующего элемента?