Как найти максимум полинома

[Vika_L]

У меня такая задача:

Есть функция одной действительной переменной $f(y)=-(y-u_1)(y-v_1)(y-u_2)(y-v_2)...(y-u_n)(y-v_n)$.
Известно, что $u_1<v_1<u_2<v_2<...<u_n<v_n$.
Требуется найти значение переменной $y$, при котором функция достигает максимума.
Три случая:
1) $v_i-u_i$ одинаковы и $u_{i+1}-v_i$ одинаковы для всех $i$.
2) $v_i-u_i$ одинаковы и $u_{i+1}-v_i$ неодинаковы.
3) $v_i-u_i$ неодинаковы и $u_{i+1}-v_i$ неодинаковы.

В первом случае я думаю, что график будет симметричный и максимум достигается в первом интервале и в последнем. Причем, чем больше $n$, тем ближе точка максимума к $u_1$. Я права? Есть ли какая-нибудь формула, как найти точку максимума в общем случае т.е. в зависимости от степени полинома (для конкретной задачи, т.е. при условии 1)? Как можно подступиться к случаям 2-3?

Спасибо!

[bot]

Откуда задача? Вы расчитываете получить определённый ответ в такой общей постановке? Что может дать разделение корней на пары? Ясно одно: максимум будет в одном из промежутков $(u_i; v_i)$ в точке где $\sum\limits_{i=1}^n \left(\frac{1}{y-u_i}+\frac{1}{y-v_i}\right)=0$. Это уравнение имеет ровно $2n-1$ различных действительных корней и в общем случае в радикалах неразрешимо.

[Vika_L]

Задача - подзадача к другой.

Я не поняла, как вы получили условие с суммой.
Мне кажется, что оно неверно.
Если
$f=-(y+0.5)(y-1.5)(y-3.5)(y-5.5)(y-7.5)(y-9.5)$
или
$f=-(y-1)(y-2)(y-3)(y-4)$
или
$f=-(y-10)(y-15)(y-20)(y-25)$,
wolframalpha рисует симметричный график. Максимум достигается на первом и последнем промежутках. У меня подозрение, что так будет всегда при условии (1).
Ваше условие с суммой в найденных точках максимума не выполняется.

[ИСН]

Вы о производных слышали когда-нибудь, например?

[TOTAL]

Vika_L в сообщении #709089 писал(а):

Я не поняла, как вы получили условие с суммой.

Это условие равенства нулю производной полинома.

[Vika_L]

Точно. Я стормозила. Тем не менее, мое утверждение про нахождение максимума в первом и последнем интервале в случае (1) правильно или нет?

[ИСН]

Зачем Вы делите корни на два подмножества, какой в этом смысл?

[Vika_L]

Если у нас первый случай, я могу просто записать:
$f(y)=-(y-y_1)(y-y_2)(y-y_3)...(y-y_{2n})$ и сказать, что $y_{i+1}-y_i$ одинаковы.
Как это сделать для случая (2) тоже понятно, хоть и сложнее, но мне задача была поставлена именно в таком виде, как я ее тут дала.

Хорошо, если мы рассматриваем $f(y)=-(y-y_1)(y-y_2)(y-y_3)...(y-y_{2n})$ и $y_{i+1}-y_i$ одинаковы, могу я сказать, что максимум будет в первом и последнем интервале, т.е. в $[y_1, y_2]$ и $[y_{2n-1}, y_{2n}]$?

[ИСН]

Глобального максимума не будет вообще, а локальный (Upd. Или минимум) будет в каждом интервале. Какие из этих локальных самые выдающиеся - да, действительно в крайних.

[Vika_L]

Спасибо! Но как это не будет глобального максимума? Глобального минимума не будет, да. И знаете ли Вы, можно ли найти формулу для максимума в этом случае (общий вид)?

$f-> - \infty$, если $y-> +/- \infty$

[ИСН]

А, ну конечно. Он же у Вас рогами вниз. Да.
Что касается максимума, то это не проще и не сложнее, чем найти корень произвольного полинома.

[Vika_L]

Спасибо. Но нерадостно это.

[bot]

Vika_L в сообщении #709089 писал(а):

Задача - подзадача к другой

Поскольку подзадача явно нерешабельна, то надо вернуться к задаче.