Найти интервал сходимости ряда

[Ktina]

Найти интервал сходимости ряда

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n+1}x^n ,$$

если

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=5$$

Меня смутило вот это "если". Можно ли предположить, что $a_n=\left(\frac{1}{5}\right)^n$, и дальше решать, как обычно?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #708531 писал(а):

Можно ли предположить, что $a_n=\left(\frac{1}{5}\right)^n$, и дальше решать, как обычно?

Предположить нельзя, а решать как обычно --- можно и нужно.

[ИСН]

Можно, но это может быть совсем не так. Поэтому лучше сразу воспользоваться признаком, который изо всей мыслимой информации про $a_n$ использует только ту, которая у нас как раз есть.

[Ktina]

nnosipov,
ИСН,

С интервалом, в принципе, проблем нет. Проблема будет с исследованием сходимости на его концах.

[ИСН]

Правильно, поэтому не надо исследовать сходимость на концах.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #708534 писал(а):

Проблема будет с исследованием сходимости на его концах.

Не уверен, что для этого хватит информации.

[Ktina]

ИСН в сообщении #708535 писал(а):

Правильно, поэтому не надо исследовать сходимость на концах.

А точно не надо? Я где-то читала, что если в задаче просят найти интервал сходимости степенного ряда, то подразумевают и сходимость исследование сходимости на концах. И потом, где тогда олимпиадность? Задача становится стандартной.

[ИСН]

А как Вы хотите? Тривиально подбираются такие $a_n$ (все - соответствующие условию!), при которых ряд сходится на обоих концах, сходится только слева, или расходится на обоих.

[Ktina]

ИСН в сообщении #708540 писал(а):

А как Вы хотите? Тривиально подбираются такие $a_n$ (все - соответствующие условию!), при которых ряд сходится на обоих концах, сходится только слева, или расходится на обоих.

Видимо, именно это имели в виду авторы задачи, иначе на олимпиаде ей делать нечего.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #708539 писал(а):

И потом, где тогда олимпиадность? Задача становится стандартной.

Для олимпиады в каком-нибудь кулинарном техникуме вполне сгодится. Это сейчас тенденция такая --- предлагать на олимпиадах стандартные задачи (чтобы народ хоть что-то решил). Увы, характерно не только для олимпиад кулинарных техникумов.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #708542 писал(а):

Для олимпиады в каком-нибудь кулинарном техникуме вполне сгодится. Это сейчас тенденция такая --- предлагать на олимпиадах стандартные задачи (чтобы народ хоть что-то решил). Увы, характерно не только для олимпиад кулинарных техникумов.

Я не знаю, как здесь ссылку дать на файл в формате "doc".
Посему, даю другую (второй курс, вариант 1, задача №2), но там написано довольно неразборчиво. Правда, там на панели лупа имеется. Если кликнуть на неё, можно увеличить изображение.
Кстати, а почему, собственно, второй курс? Разве степенные ряды не на первом изучают?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #708545 писал(а):

Кстати, а почему, собственно, второй курс? Разве степенные ряды не на первом изучают?

Да где как. Я Вам в качестве ответного примера приведу задачу с нашей региональной студенческой олимпиады, которая была на прошлых выходных: доказать, что найдётся число вида $11\ldots1100\ldots00$, которое кратно $2013$.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #708548 писал(а):

Я Вам в качестве ответного примера приведу задачу с нашей региональной студенческой олимпиады, которая была на прошлых выходных: доказать, что найдётся число вида $11\ldots1100\ldots00$, которое кратно $2013$.

Ой-Вей!
Это один из вариантов древней задачи "первоклассник Петя знает только цифру 1"

[nnosipov]

Вот-вот. А что делать ...

[Ktina]

ИСН в сообщении #708540 писал(а):

Тривиально подбираются такие $a_n$ (все - соответствующие условию!), при которых ряд сходится на обоих концах, сходится только слева, или расходится на обоих.

Кстати, я туплю.
Как вообще найти множество всех $a_n$, для которых

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=5\text{?}$$

Это ведь не обязательно степени одной пятой?