2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Найти интервал сходимости ряда
Сообщение11.04.2013, 11:12 
Аватара пользователя
Найти интервал сходимости ряда $$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n+1}x^n ,$$
если $$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=5$$
Меня смутило вот это "если". Можно ли предположить, что $a_n=\left(\frac{1}{5}\right)^n$, и дальше решать, как обычно?

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости ряда
Сообщение11.04.2013, 11:21 
Ktina в сообщении #708531 писал(а):
Можно ли предположить, что $a_n=\left(\frac{1}{5}\right)^n$, и дальше решать, как обычно?
Предположить нельзя, а решать как обычно --- можно и нужно.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости ряда
Сообщение11.04.2013, 11:22 
Аватара пользователя
Можно, но это может быть совсем не так. Поэтому лучше сразу воспользоваться признаком, который изо всей мыслимой информации про $a_n$ использует только ту, которая у нас как раз есть.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости ряда
Сообщение11.04.2013, 11:26 
Аватара пользователя
nnosipov,
ИСН,

С интервалом, в принципе, проблем нет. Проблема будет с исследованием сходимости на его концах.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости ряда
Сообщение11.04.2013, 11:28 
Аватара пользователя
Правильно, поэтому не надо исследовать сходимость на концах.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости ряда
Сообщение11.04.2013, 11:29 
Ktina в сообщении #708534 писал(а):
Проблема будет с исследованием сходимости на его концах.
Не уверен, что для этого хватит информации.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости ряда
Сообщение11.04.2013, 11:30 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #708535 писал(а):
Правильно, поэтому не надо исследовать сходимость на концах.

А точно не надо? Я где-то читала, что если в задаче просят найти интервал сходимости степенного ряда, то подразумевают и сходимость исследование сходимости на концах. И потом, где тогда олимпиадность? Задача становится стандартной.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости ряда
Сообщение11.04.2013, 11:34 
Аватара пользователя
А как Вы хотите? Тривиально подбираются такие $a_n$ (все - соответствующие условию!), при которых ряд сходится на обоих концах, сходится только слева, или расходится на обоих.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости ряда
Сообщение11.04.2013, 11:36 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #708540 писал(а):
А как Вы хотите? Тривиально подбираются такие $a_n$ (все - соответствующие условию!), при которых ряд сходится на обоих концах, сходится только слева, или расходится на обоих.

Видимо, именно это имели в виду авторы задачи, иначе на олимпиаде ей делать нечего.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости ряда
Сообщение11.04.2013, 11:37 
Ktina в сообщении #708539 писал(а):
И потом, где тогда олимпиадность? Задача становится стандартной.
Для олимпиады в каком-нибудь кулинарном техникуме вполне сгодится. Это сейчас тенденция такая --- предлагать на олимпиадах стандартные задачи (чтобы народ хоть что-то решил). Увы, характерно не только для олимпиад кулинарных техникумов.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости ряда
Сообщение11.04.2013, 11:50 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #708542 писал(а):
Для олимпиады в каком-нибудь кулинарном техникуме вполне сгодится. Это сейчас тенденция такая --- предлагать на олимпиадах стандартные задачи (чтобы народ хоть что-то решил). Увы, характерно не только для олимпиад кулинарных техникумов.

Я не знаю, как здесь ссылку дать на файл в формате "doc".
Посему, даю другую (второй курс, вариант 1, задача №2), но там написано довольно неразборчиво. Правда, там на панели лупа имеется. Если кликнуть на неё, можно увеличить изображение.
Кстати, а почему, собственно, второй курс? Разве степенные ряды не на первом изучают?

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости ряда
Сообщение11.04.2013, 12:02 
Ktina в сообщении #708545 писал(а):
Кстати, а почему, собственно, второй курс? Разве степенные ряды не на первом изучают?
Да где как. Я Вам в качестве ответного примера приведу задачу с нашей региональной студенческой олимпиады, которая была на прошлых выходных: доказать, что найдётся число вида $11\ldots1100\ldots00$, которое кратно $2013$.

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости ряда
Сообщение11.04.2013, 12:05 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #708548 писал(а):
Я Вам в качестве ответного примера приведу задачу с нашей региональной студенческой олимпиады, которая была на прошлых выходных: доказать, что найдётся число вида $11\ldots1100\ldots00$, которое кратно $2013$.

Ой-Вей!
Это один из вариантов древней задачи "первоклассник Петя знает только цифру 1" :wink:

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости ряда
Сообщение11.04.2013, 12:09 
Вот-вот. А что делать ...

 
 
 
 Re: Найти интервал сходимости ряда
Сообщение11.04.2013, 12:11 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #708540 писал(а):
Тривиально подбираются такие $a_n$ (все - соответствующие условию!), при которых ряд сходится на обоих концах, сходится только слева, или расходится на обоих.

Кстати, я туплю.
Как вообще найти множество всех $a_n$, для которых $$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=5\text{?}$$ Это ведь не обязательно степени одной пятой?

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group