распределение максимального элемента выборки

[AndreyL]

Чего-то я запутался.

Условие такое. Выборка $X$ объема $n>4$ взята из нормального распределения. По этой выборке получены оценки среднего и дисперсии, элементы выборки нормализованы с использованием полученных оценок, получилась выборка $Y$. По идее плотность распределения $f(y)$ элементов выборки $Y$ симметрична относительно 0 и зависит только от $n$ (неплохое приближение закона распределения элемента нормализованной выборки предлагалось в теме http://dxdy.ru/topic55063.html). Поскольку ни один из параметров этого распределения не оценивается по выборке, распределение известно заранее. Тогда закон распределения $k$-го элемента отсортированной выборки $Y$ должен быть таким (см. topic67017-15.html)

$$F_{Y_{(k)}}(y) = \mathsf P\left(Y_{(k)}<y\right)= \sum\limits_{i=k}^n C_n^i \bigl(F(y)\bigr)^i \bigl(1-F(y)\bigr)^{n-i}.$$

Соответственно, закон распределения максимального, т.е. $n$-го элемента

$$F_{Y_{(n)}}(y) = \mathsf P\left(Y_{(n)}<y\right)= \bigl(F(y)\bigr)^n$$

Функция распределения $F(y)$ определена на промежутке $-\frac{n-1}{\sqrt{n}}<y<\frac{n-1}{\sqrt{n}}$, тогда и $\bigl(F(y)\bigr)^n$ тоже определена на этом же промежутке. Но тогда существует ненулевая вероятность, что максимальный элемент нормализованной выборки будет меньше нуля. Здравый смысл подсказывает, что такого не может быть в принципе, значит есть ошибка в логике, представленной выше. Вот только в чем конкретно ошибка не совсем понятно.

[--mS--]

Случайные величины $Y_i$ зависимы.

[AndreyL]

Да! У меня было подозрение, что ошибка в зависимости случайных величин $Y_i$, но тогда еще два вопроса:
1. как вразумительно показать, что случайные величины $Y_i$ зависимы? Желательно без применения сигма-алгебры.
2. окажет ли зависимость случайных величин влияние только на вывод распределения конкретного элемента выборки (при этом закон распределения любого элемента нормированной выборки $Y_i$ может быть найден или, хотя бы, корректно аппроксимирован) или сама постановка задачи о нахождении закона распределения любого элемента нормированной выборки $Y_i$ является некорректной?

[--mS--]

Да тут нечего показывать: их сумма нулевая.

Второй вопрос вообще непонятен. Зависимость или независимость случайных величин не имеет никакого отношения к распределению любой из них. Это свойство совместного распределения. В том месте, где Вы перемножали функции распределения, стоит большой знак $\neq$.

[AndreyL]

--mS-- писал(а):

Да тут нечего показывать: их сумма нулевая.

Правильно ли я понимаю, что критерием зависимости является тот факт, что существует уравнение, связывающее все элементы выборки, в данном случае $\sum \limits_{i=1}^n Y_i=0$, что позволяет определить точное значение одного (любого) элемента выборки, зная значения всех остальных? Каков в общем случае критерий зависимости/независимости?

--mS-- писал(а):

В том месте, где Вы перемножали функции распределения, стоит большой знак $\neq$.

Вот это не очень понятно, почему в этом случае не равно?

[--mS--]

Определение независимости случайных величин есть в любом учебнике, википедии, и т.д. и т.п. Почему бы Вам его не найти? Ну, например, раз Вам не хочется сигма-алгебр:

Случайные величины $Y_1,\ldots,Y_n$ независимы, если функция совместного распределения величин $Y_1,\ldots,Y_n$ распадается в произведение маргинальных функций распределения:

$$\forall \, x_1,\ldots, x_n\quad \mathsf P(Y_1 < x_1,\ldots, Y_n<x_n)=\mathsf P(Y_1 < x_1)\cdot\ldots\cdot\mathsf P(Y_n<x_n).$$

Правильно понимаете, линейной зависимости достаточно, чтобы утверждать, что величины зависимы. Например, ковариации линейно связанных величин ненулевые, это легко получить.

AndreyL в сообщении #708538 писал(а):

Вот это не очень понятно, почему в этом случае не равно?

Потому что единственной причиной, по которой может быть равно, является независимость. И противоречие, о котором Вы в первом сообщении говорили, тому примером.