топология, метрическое пространство

[tavrik]

вопрос звучал так: Х непустое множество, a - его элемент, Т - подмножество включающее все подмнож Х, которые содержат а.
а) доказать что $(X,T)$ задает тополог прост-во.
тривиально, по определению оного.
б) оно(пространство) будет метрическим только если а - единственный элемент Х.
тут доказывают вроде тоже несложно: допустим b еще один элемент в Х и d - метрика.
рассматриваем отрытый шар вокруг b, радиусом как расстояние между а и b.
ну или вполовину его. теперь мы получиили открытое множество которого нет в топологическом пространстве(поскольку оно не содержит а).

мой вопрос - почему последнее утверждение является опровержением метризабильности. если метрика задает топологию то любое открытое множество должно находится в этой, заданной метрикой, топологии?

сэнкс

[Someone]

tavrik в сообщении #708073 писал(а):

Т - подмножество включающее все подмнож Х, которые содержат а

"Подмножество" чего?
И надо добавить в $T$ ещё пустое подмножество множества $X$.

tavrik в сообщении #708073 писал(а):

мой вопрос - почему последнее утверждение является опровержением метризабильности.

Потому что из метризуемости следует, что имеется открытое подмножество, не принадлежащее заданной топологии.

[tavrik]

вот именно это я и спрашиваю - почему из того что есть открытое множество не пренадлежащее заданой топологии следует неметризуемость.

да, но в условии прямо сказано что Т топология, поэтому я пропустил.

[Someone]

tavrik в сообщении #708126 писал(а):

почему из того что есть открытое множество не пренадлежащее заданой топологии следует неметризуемость

Потому что, согласно определению топологии, этого множества нет. Вас заклинило, что ли? Сами же видите: если бы пространство было метризуемо, то множество было бы, а его нет. Значит, пространство не метризуемо. Это "доказательство от противного" называется.

[tavrik]

да, верно - теперь дошло. открытый шар есть а значит он должен быть в топологии.