Дисперсия оценки

[djently]

Есть оценка параметра $\theta$ экспоненциального распределения $E(\theta)$. МП-оценка $\hat{\theta} = \frac{1}{\overline{X_n}}$. Нужно найти дисперсию $D[\theta^*]$, где $\theta^* = \frac{n-1}{n} \hat{\theta}$.
Говорилось о теореме об инвариантности МП-оценки, но я не понимаю, как ее применить.

[SpBTimes]

А в чем, собственно, загвоздка? Чему равна $D[aX + b]$?

[--mS--]

Какое распределение имеет $n\overline{X_n}=\sum X_i$? Инвариантность для отыскания дисперсии не поможет ни разу.

[djently]

Я что-то не понимаю как связаны $D[aX+b]$ и $D\left[\frac{1}{\sum X_i}\right]$. По-другому говоря, чему равна дисперсия $D\left[ \frac{1}{X} \right]$, если про $ X $ все известно.

-- 09.04.2013, 19:35 --

--mS-- в сообщении #707604 писал(а):

Какое распределение имеет $n\overline{X_n}=\sum X_i$? Инвариантность для отыскания дисперсии не поможет ни разу.

Из ЦПТ имеем, что если $M[X] = m_x, D[X] = \sigma^2$, $\sum\limits_{i=1}^n X_i \sim N(n m_x, n\sigma^2) $. Но МО $M\left[\frac{1}{Y}\right], Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i $ расходится.

[--mS--]

При чем тут ЦПТ? На вопрос ответьте: какое распределение имеет сумма иксов?

[djently]

--mS-- в сообщении #707859 писал(а):

При чем тут ЦПТ? На вопрос ответьте: какое распределение имеет сумма иксов?

Асимптотически нормальное, нет?

[--mS--]

Вам что, предел чего-то нужен? Вам посчитать нужно дисперсию. При $n=3$. При $n=7$. При $n=13$. Зачем Вы объясняете что-то про поведение при $n\to\infty$?

Если не знаете, ищите распределение суммы. Вообще говоря, такие вещи знать положено. И данная задача тому подтверждание. Ну не будет никто требовать вычисления дисперсии $1/\overline X$, если студенты не знают распределение суммы независимых и одинаково распределенных показательных величин.

[djently]

--mS-- в сообщении #708025 писал(а):

Вам что, предел чего-то нужен? Вам посчитать нужно дисперсию. При $n=3$. При $n=7$. При $n=13$. Зачем Вы объясняете что-то про поведение при $n\to\infty$?

Если не знаете, ищите распределение суммы. Вообще говоря, такие вещи знать положено. И данная задача тому подтверждание. Ну не будет никто требовать вычисления дисперсии $1/\overline X$, если студенты не знают распределение суммы независимых и одинаково распределенных показательных величин.

Про гамма-распределение я действительно не знал. Спасибо.