Интеграл

[TelmanStud]

Всем добрый день! Не подскажете как быть интегралом
$\int_{-\infty }^{\infty } \text{sech}^2\left(a_1 x+b_1\right) \text{sech}^2\left(a_2 x+b_2\right) \, dx$
$a_1\ne a_2$

-- 09.04.2013, 10:35 --

Можно его взять?

[AKM]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[ex-math]

Запишите его сначала, используя общепринятые обозначения. А если там участвуют гиперболические функции, то через экспоненты. Как правило, после этого многое проясняется.

[TelmanStud]

Это делу не поможет
$\int_{-\infty }^{\infty } (\frac{2}{e^{a_1 x+b_1}+e^{-a_1 x-b_1}})^2(\frac{2}{e^{a_2 x+b_2}+e^{-a_2 x-b_2}})^2 dx$

[3.14]

Попробуйте максимально упростить и заменить переменную $e^x = t$. Может что и выйдет. На сайте Wolfram этот интеграл не посчитали. Жаль нет у меня установленной программы Wolfram. Хотя бы посмотреть ответ.

[ИСН]

Установленная программа тоже не посчитала.

[3.14]

Еще может стоит поглядеть в учебник(задачник) по комплексному анализу. Помнится, там было много всяких похожих несобственных интегралов. Решали их с помощью вычетов.

[ИСН]

3.14, здесь вообще много и часто посылают людей в учебник, но это уместно тогда, когда человек не знает элементарных вещей - того, что в учебнике наверняка есть. "Это стол, его едят." А так-то зачем?

[TelmanStud]

Ни одна из известных мне мат. программм мне его не посчитала. В справочнике Грандштейна его тоже нет. Упрощение тоже ничего не дает. Я решил в частном случае когда $a_1= a_2$

[Someone]

TelmanStud в сообщении #707956 писал(а):

Я решил в частном случае когда $a_1= a_2$

Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции, если $a_1$ и $a_2$ соизмеримы, то есть, $\frac{a_1}{a_2}=\frac mn$, где $m$ и $n$ - целые числа. Тогда $\frac{a_1}m=\frac{a_2}n=p$, и можно подставить $e^{px}=t$ (я не утверждаю, что это самая эффективная подстановка).
Думаю, что в других случаях первообразная через элементарные функции не выражается.

[TelmanStud]

Someone
Спасибо попробуем че нить придумать...

[ex-math]

Можете еще глянуть справочник Прудникова, Брычкова, Маричева -- он гораздо полнее Градштейна, может и будет что-нибудь похожее.
Если, как подсказал Someone, $a_1$ и $a_2$ соизмеримы, можно попробовать вычислить интеграл через вычеты, сдвинув контур вдоль мнимой оси на общий период обеих экспонент.

-- 10.04.2013, 12:18 --

В общем случае запросто через какие-нибудь спец.функции может выражаться.