Показательно-тригонометрическое уравнение.

[melnikoff]

Уравнение из ЕГЭ 2013 года.
$(2^x+2^{x-2}+2^{2-x})\cos\frac{\pi x}{2}+\cos (\pi x)+3+2^{2x-3}=0.$
Сначала думал, что нужно воспользоваться как-то ограниченностью функций, но не получается. Монотонности тоже никакой нет. Замена - тоже никак. Разложить на множители - нет.
Только вижу, что $\cos\frac{\pi x}{2}<0.$
Подскажите в какую сторону думать?

[Cash]

А никаких ограничений типа $x>0$ нет?
Вряд ли для отрицательных корней (а их будет бесконечно много) можно найти приемлемую форму ответа.

[melnikoff]

Cash, есть ограничение $x\geq -1.$
Это решение неравенства $\left |x+1\right |-1\leq x$ из данной системы.

[Cash]

Обозначьте $u = \cos (\frac{\pi x}{2})$
И решайте как квадратное относительно $u$.
Для упрощения выкладок можно сделать замену $v = 2^{x-2}$
Вроде всё срастается. У меня единственно возможный корень получился $u = -\frac12 (v+ \frac1v)$. Дальнейшее просто.

[Алексей К.]

Попробуйте $\cos\pi x$ расписать как косинус двойного угла. Тогда квадратное уравнение относительно $\cos\frac{\pi x}2$ получается с хорошим дискриминантом. До конца не дорёшивал. Надеюсь, поможет.

-- 09 апр 2013, 13:05:27 --

Уууу...

[melnikoff]

Алексей К., не получается квадратного уравнения.

[Cash]

melnikoff в сообщении #707688 писал(а):

Алексей К., не получается квадратного уравнения.

Что получится, если сделать замены $u = \cos (\frac{\pi x}{2})$, $v = 2^{x-2}$?

[Алексей К.]

У Cash получилось, у меня получилось; как-то совсем непонятно, что у Вас не получается.
Всё так тривиально: $\cos\,\pi x=2u^2-1$, и Вы, судя по первому сообщению, много чего понимаете.
Последуйте советам Cash, приведите результат.

[melnikoff]

Хорошо, сделаем замену: $u(x) = \cos (\frac{\pi x}{2})$, $v(x) = 2^{x-2}$.
Получим такое уравнение:
$2u^2+(5v+\frac{1}{v})u+2v^2+2=0$.
Это не квадратное уравнение, так как, если например рассматривать его относительно переменной $u$, то коэффициенты $5v+\frac{1}{v}$ и $2v^2+2$ будут являться функциями неизвестного $u$.

-- 09.04.2013, 20:42 --

А вообще, мне кажется, что это уравнение довольно сложно для экзамена ЕГЭ. Но возможно, что в группе в вконтакте, посвященной подготовке к ЕГЭ, так пошутили.

[Алексей К.]

melnikoff в сообщении #707809 писал(а):

Это не квадратное уравнение

Это квадратное уравнение относительно $u$: у Вас какая-то путаница в терминологии.

Cash в сообщении #707684 писал(а):

И решайте как квадратное относительно $u$.

Алексей К. в сообщении #707685 писал(а):

Тогда квадратное уравнение относительно $\cos\frac{\pi x}2$ получается с хорошим дискриминантом.

Да, Вы получите $u=f_{1,2}(v)$, и левая часть хорошо ограничена, остаётся посмотреть границы правой части. Я лишь убедился, что дискриминант хороший (полный квадрат), Cash, похоже, до конца проделал.

-- 09 апр 2013, 20:02:57 --

melnikoff в сообщении #707809 писал(а):

А вообще, мне кажется, что это уравнение довольно сложно для экзамена ЕГЭ

Сложное я бы не решил с первой попытки, с первой простейшей догадки: мухи отдельно, котлеты отдельно.
Мухи --- это тригонометрия, котлеты --- показательные штучки. Наверное, типовой приём.

[Cash]

То, что $u$ и $v$ не независимы не играет никакой роли.
Решение квадратного уравнения есть ни что иное как поиск разложения на множители:
$ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$, то есть сведение одного квадратного уравнения к совокупности 2-х линейных уравнений.
А в случае, например, уравнения $u\cos v-5v=4$ вас смущала бы возможная связь $u$ и $v$? Вы смело пишете $u = \frac{4+5v}{\cos v}$ и всё.

-- Вт апр 09, 2013 20:27:41 --

Пример, может быть не совсем удачный. Так уж смело не стоит писать, надо бы еще отдельно рассмотреть $\cos v =0$, но суть, надеюсь, понятна...