Вариация функции

[Sul]

Так что все еще нужна помощь...

[SpBTimes]

Sul
Почему же не достаточно? $y_1, y_2$ из произвольного отрезка из множества $[x; a)$.
И разность оценивается $< 2K \max{(|x - y_1|; |x - y_2|)}$

[Sul]

SpBTimes в сообщении #707626 писал(а):

Sul
Почему же не достаточно? $y_1, y_2$ из произвольного отрезка из множества $[x; a)$.
И разность оценивается $< 2K \max{(|x - y_1|; |x - y_2|)}$

Ну если мы добавили только 2 точки, то да. А если добавим больше? Чтобы получить вариацию надо суммировать такие разности, тогда коэффициент перед K может неограниченно расти

[sup]

Пусть правая производная ограничена по модулю величиной $K$. Попробуйте доказать, что $f(x) + (K+1)x$ монотонная функция.

[SpBTimes]

Sul в сообщении #707634 писал(а):

Чтобы получить вариацию надо суммировать такие разности, тогда коэффициент перед K может неограниченно расти

Показано, что Липшицевость будет на любом отрезке внутри. Далее, функция, удовлетворяющая условию Липшица, имеет ограниченную вариацию (на $[a; b]$)
$\mathcal{V} = \sup\sum\limits_{k = 1}^{n}| f(x_{k}) - f(x_{k - 1})| \leqslant 2K \sum\limits_{k = 1}^n x_k - x_{k-1} = 2K (b - a)$
На каждом таком множестве ограниченная вариация есть. Тогда, так как покрытий конечное число, и суммарная вариация конечна

[Sul]

В общем поспешил я только в том, что вовсе не обязательно мы получим покрытие отрезка такими интервалами. Ведь мы выкалываем точку из полуинтервала, в котором выполняется наше свойство, и не факт, что оставшиеся интервалы покроют весь отрезок...

-- 09.04.2013, 17:40 --

SpBTimes в сообщении #707639 писал(а):

Sul в сообщении #707634 писал(а):

Чтобы получить вариацию надо суммировать такие разности, тогда коэффициент перед K может неограниченно расти

Показано, что Липшицевость будет на любом отрезке внутри. Далее, функция, удовлетворяющая условию Липшица, имеет ограниченную вариацию (на $[a; b]$)
$\mathcal{V} = \sup\sum\limits_{k = 1}^{n}| f(x_{k}) - f(x_{k - 1})| \leqslant 2K \sum\limits_{k = 1}^n x_k - x_{k-1} = 2K (b - a)$
На каждом таком множестве ограниченная вариация есть. Тогда, так как покрытий конечное число, и суммарная вариация конечна

Да и Липшицевости нету, мы же оценили разность значений функции не разностью аргументов

-- 09.04.2013, 18:06 --

sup в сообщении #707637 писал(а):

Пусть правая производная ограничена по модулю величиной $K$. Попробуйте доказать, что $f(x) + (K+1)x$ монотонная функция.

Интересная идея! Этого и правда было бы достаточно... надо ведь как-то использовать непрерывность еще, причем раз правая производная есть, то и непрерывность справа обеспечена. Получается надо использовать где-то непрерывность слева как минимум

[Sul]

Вообще не уверен, что это верно...

[Sul]

sup в сообщении #707637 писал(а):

Пусть правая производная ограничена по модулю величиной $K$. Попробуйте доказать, что $f(x) + (K+1)x$ монотонная функция.

Пытаюсь доказать: обозначим эту функцию за $g(x)$, тогда ее правая производная всюду больше нуля, и она так же непрерывна. Пытаюсь доказать хотя бы, что для любой точки $x$ из отрезка $[a, b]$ $g(x)>g(a)$ (если это докажем, то точку $a$ можно будет заменить на любую другую точку отрезка, и будет монотонность). Итак, раз правая производная в точке $a$ положительна, то существует полуинтервал $[a, a_1)$, такой, что в любой его точке значение функции больше, чем значение в левом конце. В силу непрерывности получим, что и $g(a_1)>g(a)$. Теперь исходя из таких же соображений строим полуинтервал $[a_1, a_2)$, на нем значение функции опять будет больше $g(a_1)$, а значит и $g(a)$. Таким образом построим последовательность полуинтервалов, таких что в каждой их точке значение функции больше, чем в левом конце отрезка. Ну возьмем точную верхнюю грань $a_i$. В силу непрерывности получим, что и в этой точке значение функции будет больше, чем в левом конце.

Но где свет в конце тоннеля? Строить полуинтервалы начиная с супремума, а потом брать супремум супремумов? Мы так разве доберемся до правого конца когда-нибудь?

[Sul]

В общем, задачу решил куда проще - достаточно использовать непрерывность $g$, и с помощью правой производной доказать, что на каждом отрезке она принимает максимум в правом конце.