теоретическая механика

[felix_Igor]

Добрый день. Помогите пожалуйста решить задачку. Заданы уравнения движения точки параметрически
x=3sin2a
y=3sina
как бы из этого вывести уравнение траектории движения точки y=f(x) так, чтобы потом можно было нормально взять вторую производную y'' (т.е. ускорение)

[Brukvalub]

felix_Igor писал(а):

как бы из этого вывести уравнение траектории движения точки y=f(x) так, чтобы потом можно было нормально взять вторую производную y''

В целом - никак, поскольку в целом эта траектория не является графиком такой функции. Можно выписать такое задание на участках траектории. Лучше возьмите вторую производную параметрически заданной функции, это тоже будет правильная производная.

[felix_Igor]

так вот как бы и получается, мне принесли методичку в которой описан простой вариант
x=sina
y=cos2a
из этого получается что sin^2a=x^2 (1)
y=cos2a=1-2sin^2a (2) после подстановки (1) в (2) получается y=1-2x^2 уравнение параболы.
А вот в случае который я описал выше так что-то не получается.

[Brukvalub]

Можно довольно просто выразить х через у (нужно только правильно выбрать знак в зависимости от участка траектории)

\[ x = 3\sin {\kern 1pt} 2a = 6\sin a\cos a = \pm 2y\sqrt {1 - \frac{{y^2 }}{9}} \]

, а потом воспользоваться вычислением производной обратной функции. Но проще взять параметрическую производную, как я уже Вам писал.

[felix_Igor]

Спасибо конечно за помощь, только вот нужно как-то вывести Y=f(X) так как в дальнейшем нужно взять вторую производную от Y. (d^2Y/dX^2).

[Brukvalub]

Можно ведь и так подсчитать:

\[ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\frac{{dy}}{{da}}}}{{\frac{{dx}}{{da}}}}\quad ;\quad \frac{{d^2 y}}{{dx^2 }} = \frac{{d(\frac{{dy}}{{dx}})}}{{dx}} = \frac{{\frac{{d(\frac{{dy}}{{dx}})}}{{da}}}}{{\frac{{dx}}{{da}}}} \]

[photon]

photon:

felix_Igor, используйте тег math: посмотрите, как здорово это получается у Brukvalub-а - у Вас тоже так получится

И, на мой вкус, эту задачу лучше перенести в математический раздел. Если Вы со мной в этом вопросе согласны, то напишите мне ЛС... пока оставляю тут

[Батороев]

Brukvalub писал(а):

felix_Igor писал(а):
как бы из этого вывести уравнение траектории движения точки y=f(x) так, чтобы потом можно было нормально взять вторую производную y''
В целом - никак, поскольку в целом эта траектория не является графиком такой функции.

А почему нельзя записать так:
$ y = 3\sin a = 3\sqrt{\frac{1}{2}(1 -\cos 2a) }}} = 3\sqrt{\frac{1}{2}(1 -\sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}}) $?

[Dan_Te]

Потому что, во-первых, например,
$\sin a \ne \sqrt{\frac12(1-\cos{2a})}$

А кроме того, формула Brukvalub'a выше (где х через у) проще.

[Батороев]

Dan_Te писал(а):

Потому что, во-первых, например,
$\sin a \ne \sqrt{\frac12(1-\cos{2a})}$

А кроме того, формула Brukvalub'a выше (где х через у) проще.

Если правильно учитывать знаки на участках траектории, то
$\sin a = \sqrt{\frac12(1-\cos{2a})}$,
Я понимаю, что по предлагаемому проще, но felix_Igor попросил именно так.

Цитата:

Спасибо конечно за помощь, только вот нужно как-то вывести Y=f(X) так как в дальнейшем нужно взять вторую производную от Y. (d^2Y/dX^2).

[Архипов]

О каком ускорении речь? В задании нет зависимости координат ни от скорости, ни от ускорения, ни от времени, а тема указана "механика". Вот модератор и намекнул: не пойти ль нам в математики.

[Nephi]

$$ \sin^2a=\dfrac{1-cos^2a}{2} $$ $$ x=\frac{3}{2}\big(1-cos^2a\big) $$ $$ y=3\sin a $$ $$ \frac{2x}{3}=1-\cos^2a $$ $$ \frac{y^2}{9}=\sin^2 a $$ $$ \frac{2x}{3}-\frac{y^2}{9}=0 $$ $$ 9\frac{2x}{3}=y^2 $$ $$ y=\sqrt{6x} $$