Производная, приводящая к рекуррентному соотношению

[Nuflyn]

Уважаемые коллеги!
Хотелось бы получить дельный совет с вычислением следующей производной $$d^p (\exp(-a/T))/d^p T$. Непосредственное вычисление для малых p, разумеется, не представляет труда, однако, хотелось бы все же получить формулу для произвольной степени. Соображения размерности, а так же непосредственная проверка для первых нескольких производных приводят к следующему выражению $$\sum_{z=1}^p k_{z}^p a^p T^{-p-z} \exp(-(a/T))$ для p>1. Дифференцируя, сумму и поигравшись с получившимися суммами, можно получить для коэффициентов следующее рекуррентное соотношение
$k_z^{p+1} = -k_{z}^p (p+z) + k_{z-1}^{p}$.
Однако, нельзя ли действовать здесь "по-честному" без угадывания вида решения и заодно избежать решения рекуррентной последовательности, к которой, я тоже не знаю как подступиться?

[Sonic86]

Nuflyn в сообщении #703195 писал(а):

можно получить для коэффициентов следующее рекуррентное соотношение
$k_z^{p+1} = -k_{z}^p (p+z) + k_{z-1}^{p}$.

Можно попытаться решить так: сделать подстановку $k_z^p=t_z^pP(p-z)$, причем $P(p-z+1)=(p+z)P(p-z)$. Тогда $P(z)$ легко вычисляется и остается решить рекуррентность $t_z^{p+1} = -t_{z}^p + t_{z-1}^{p}$, которая, скорее всего сводится к чему-то подобному биномиальным коэффициентам.
А как прямо вычислить не знаю (придумал глупый способ: разложить экспоненту в ряд, продифференцировать, умножить все на $e^{-\frac{a}{T}}$, останется только перемножить ряды)

[Nuflyn]

Спасибо, только не совсем понятно из каких соображений выбран вид подстановки.

[Sonic86]

Nuflyn в сообщении #703228 писал(а):

Спасибо, только не совсем понятно из каких соображений выбран вид подстановки.

Прием, аналогичный приемам из Конкретной математики Кнута. Там было что-то вроде рекуррентного уравнения $a_{n+1}=(n+1)a_n+c_n$, $c_n$ известна, и тогда делалась подстановка $a_n=n! b_n$.

[ex-math]

Есть формула для производной сложной функции, eе можно найти в старых учебниках анализа или доказать самому по индукции ($k_i\geqslant0$):

$$ (f(g(x)))^{(p)}=\sum_{k_1+2k_2+\dots+pk_p=p}\frac{p!}{k_1!\dots k_p!}f^{(k_1+\dots+k_p)}(g(x))\left(\frac{g'(x)}{1!}\right)^{k_1}\dots\left(\frac{g^{(p)}(x)}{p!}\right)^{k_p}. $$

Вас спасает то, что функции совсем простые.

[Nuflyn]

Ну что ж, полагаю решение найдено, спасибо