Звуковые волны во многомерном пространстве

[MHOrO6y]

Здравствуйте. У меня возник теоретический вопрос, связанный с поведением звуковых волн. Как известно, это волны упругого колебания. Для технологий подачи звука в трехмерной среде используется мембрана. Звук в этой среде распределяется и угасает равномерно, что хорошо знакомо нам на практике.

Возможно ли в N-мерном (где N>3) пространстве, при распространении в этой среде звуковых волн, возникновение «очагов остаточного звучания»? Под этим я подразумеваю явление наподобие эхо, возникающее в определенных местах пересечения звуковых волн, даже в сильно идеализированной среде.
Прошу прощения если вопрос окажется некорректным.

[pohius]

Не совсем ясно что за "очаги остаточного звучания".
Возьмем трехмерное евклидово пространство. Запустим туда упругие шарики (это будет газ). И поместим так же туда твердый предмет. Если теперь предмет начнем трясти, то часть кин. энергии будет передаться шарикам. Некоторые из них теперь будут быстрее лететь некоторые медленней. И так как они сталкиваются, то одни передают энергию другим. Далее можно перейти к плотности шариков. И еще далее можно эту плотность математически описать синусами и косинусами, то есть волной.
При столкновении этих шариков с како-то стенкой, они отскакивают, в терминах волны получается, что волна отражается. Это описание не зависит от размерности пространства. Просто в одномерном случае у вас есть одномерное дифф уравнение колебаний, в двухмерном система из двух уравнений, и так далее. Качественно ничего не меняется.

[Munin]

Даже в 2-мерном и 3-мерном пространстве можно сделать, чтобы звук не угасал, а усиливался. Это делается специальными границами: стенками, резонаторами. Например, "шепчущая галерея", или фокусирующие поверхности. Можно сделать мембрану такой формы, что звук по ней будет распространяться, то угасая, то усиливаясь.

А если границ не вводить, то в любом $N$-мерном пространстве, где даже $N>1,$ звук будет ослабляться. Он будет ослабляться с разной скоростью: чем больше $N,$ тем быстрее (по функции $1/R^{N-1}$).

[MHOrO6y]

Для меня кое-что прояснилось, спасибо за ответы. Мысль о возможной «очаговой» интерференции звуковых волн во многомерном пространстве отпадает.

[Munin]

Собственно, волновое уравнение для точечного источника в любом количестве измерений решено точно. Полянин, "Справочник по линейным уравнениям математической физики".

[ant224]

Munin в сообщении #706415 писал(а):

Собственно, волновое уравнение для точечного источника в любом количестве измерений решено точно.

Конечно, решить можно всё, что можно выдумать в том числе и волны в эн-мерном пространстве.
Относительно распространения звуковых волн в нашем 3-х мерном пространстве всё понятно - распространяются за счёт частиц среды. Для воздуха, например, это молекулы кислорода, азота и немного водяного пара с примесями.
Но, как представить молекулу кислорода (например), в 50-мерном пространстве? Она что, останется такой-же? И так-же будет переносить звуковые колебания?

[Denis Russkih]

Интересно, а в искривлённом пространстве как обстоят дела? :) Может ли там звуковая волна столкнуться сама с собой и усилиться?.. При полном отсутствии каких-либо стенок, отражающих звук?..

[Munin]

ant224 в сообщении #706486 писал(а):

Относительно распространения звуковых волн в нашем 3-х мерном пространстве всё понятно - распространяются за счёт частиц среды. Для воздуха, например, это молекулы кислорода, азота и немного водяного пара с примесями.
Но, как представить молекулу кислорода (например), в 50-мерном пространстве? Она что, останется такой-же? И так-же будет переносить звуковые колебания?

Звуковые волны в воздухе распространяются точно так же, как в идеальном газе - скоплении точечных частиц, сталкивающихся как симметричные маленькие шарики.

Хотя... вы правы, конкретные молекулы приводят к другому показателю адиабаты. В многомерном пространстве показатель адиабаты будет другим. Соотношения между некоторыми физическими величинами (например, между плотностью и температурой в гребне волны) будут другими. Хотя сами волны останутся прежними (и будут спадать по уже указанному мной закону).

Denis Russkih в сообщении #706508 писал(а):

Интересно, а в искривлённом пространстве как обстоят дела? :) Может ли там звуковая волна столкнуться сама с собой и усилиться?.. При полном отсутствии каких-либо стенок, отражающих звук?..

Искривлённое пространство - это то же самое, что и, скажем, искривлённая мембрана сложной формы в нашем плоском пространстве. Да, искривлённое пространство может фокусировать волны. Иметь стенки ему для этого не обязательно (в математике говорят, что многообразие может не иметь края). Пример: гравитационное фокусирование (со звуком оно происходит так же, как и со светом).

[Theoristos]

Munin в сообщении #706380 писал(а):

Даже в 2-мерном и 3-мерном пространстве можно сделать, чтобы звук не угасал, а усиливался.

На большом расстоянии это та же оптика и те же каустики. Можно использовать известную теорию.

[lucien]

Интересно, а как в N-мерии описывается электромагнитная волна? В 3-мерии мы имеем лишь две поляризации. По квантовой механике это есть следствие безмассовости фотона (у любой безмассовой частицы есть лишь два поляризационных состояния -- спин по направлению движения и против). В N-мерии должно быть N-1 поляризаций (есть N-1 направлений, ортогональных заданному). Но ведь фотон и в N-мерии безмассовый и его спин равен 1. Откуда может появиться больше 3-х поляризаций?

-- 08.04.2013, 09:28 --

Наверное все дело в том, что спин это трехмерное понятие.

[lucien]

Что ж такое фотон в N-мерии и есть ли он вообще?

[Munin]

lucien в сообщении #707221 писал(а):

Наверное все дело в том, что спин это трехмерное понятие.

Не совсем так.

Дело в том, что связь направления вращения с вектором вдоль оси - это трёхмерное понятие. В 3-мерии мы проводим вращение в плоскости, скажем, $(x,y),$ затрагивая два базисных вектора, и обозначаем их вектором вдоль оси $z$ - геометрическим объектом вдоль одного базисного вектора. 3-2=1. Если мы возьмём вместо этого $N$-мерие, то будем иметь $N-2=K,$ то есть вращение в некоторой заданной плоскости потребует для своего описания задания геометрического объекта из $K$ базисных векторов, в общем случае $K\ne 1.$ Например, на плоскости вращение возможно только в единственном направлении, и вращение описывается не вектором, а числом - углом поворота - то есть, скаляром.

Дальше, уже в 4-мерном пространстве возникает новое свойство: одно вращение пространства может состоять из двух вращений в разных плоскостях, совершенно не затрагивающих друг друга (например, в плоскостях $(x_1,x_2)$ и $(x_3,x_4)$). Углы этих двух вращений могут быть выбраны произвольно, в частности, если они образуют иррациональное соотношение, то вращение становится непериодическим движением, никогда не возвращающимся в прежнее положение, сколько его ни повторяй. Такое вращение может быть полноценно описано не сочетанием "угол + направление оси или плоскости вращения", а более полным "набор направлений плоскостей вращения + соответствующих им углов". Вообще в $N$-мерном пространстве это будет $N(N-1)/2$ параметров (половина квадрата без диагонали), и мы видим, что только случайно так совпало, что для 3-мерного пространства это число равно самому $N,$ и вращение может быть описано вектором (направленным вдоль оси вращения, и имеющим модуль, равный углу вращения). Во всех других размерностях это будет не так. Наиболее простой и общепринятый способ задать произвольное вращение в $N$-мерном пространстве - это матрица специального вида, так называемая ортогональная (или можно взять логарифм от этой матрицы, это будет антисимметричная (кососимметричная) матрица).

Дальше всё это отражается на математике электродинамики. В 3-мерном пространстве мы имеем электрическое и магнитное поле одинакового типа (оба векторные) именно в силу того, что вращение одного вектора даёт другой вектор (см. векторное произведение в составе операции ротора). Но в $N$-мерном пространстве эта симметрия теряется. Традиционно пишут уравнения, в которых электрическое поле остаётся векторным, ну а вот магнитное становится другого типа и другой размерности - хотя можно обобщить электродинамику и иначе. Таким образом, можно представить себе в $N$-мерном пространстве и волны, и поляризации этих волн, и фотоны.

И наконец, спин. Спин - ещё более сложное понятие, чем вращение, хотя он на этом вращении основан. Тут геометрические образы уже отказывают (по крайней мере, элементарные), остаются только алгебраические соотношения. Точно не скажу, но мне представляется, что частица спина 1 имеет столько же ориентаций спина, сколько вектор (спин 1 также называют "векторными частицами"), а если она становится безмассовой, то остаётся только 2 направления поляризации: для направлений этого вектора вдоль и против движения.

[lucien]

Munin в сообщении #707376 писал(а):

Углы этих двух вращений могут быть выбраны произвольно, в частности, если они образуют иррациональное соотношение, то вращение становится непериодическим движением, никогда не возвращающимся в прежнее положение, сколько его ни повторяй.

Интересно. Не задумывалась об этом.

Munin в сообщении #707376 писал(а):

Таким образом, можно представить себе в N-мерном пространстве и волны, и поляризации этих волн, и фотоны.

Да, можно. Только нужно описывать эл.м. волну не через электрическое и магнитное поле, а через векторный потенциал $A^\mu$. Число поляризаций тогда просто посчитать как число независимых компонент вектора. В лоренцевой калибровке имеем по-прежнему $\Box A_\mu=0$. При этом остается еще произвол $A^\mu\rightarrow A^\mu-\partial_\mu\alpha$ с $\Box\alpha=0$, т.е. в $d=n+1$-мерии имеем d уравнений движения и две связи: $\partial_\mu A^\mu=0$ и $\Box\alpha=0$. Итого -- $n-1$ поляризация, что согласуется с подсчетом по числу направлений, ортогональных заданному.

Munin в сообщении #707376 писал(а):

Точно не скажу, но мне представляется, что частица спина 1 имеет столько же ориентаций спина, сколько вектор (спин 1 также называют "векторными частицами"), а если она становится безмассовой, то остаётся только 2 направления поляризации: для направлений этого вектора вдоль и против движения.

А вот эти рассуждения в $n$-мерии уже не проходят: поляризаций уже не две.

[Munin]

Вектор-потенциал - это и есть спинор спина 1.

Насчёт подсчёта числа поляризаций - может быть, я и ошибся. Я не знаком со спинорами в многомерных пространствах. Пытался найти ответ, и получил три разных варианта, один из которых написал выше. Другой совпадает с вашим, и признаю, весьма правдоподобен.