Hom(G,G)=G для D-группы G

[Nimza]

Пусть $G$ --- $D$-группа, то есть абелева группа, в которой для любого натурального $n$ и для любого $g \in G$ существует единственный $h \in G$ такой, что $nh = g$.
Вопрос 1. Правда ли, что для такой группы $G$ имеет место равенство

$$ \mathsf{Hom}_{\mathsf{Grp}}(G,G) \cong G ? $$

У меня получается доказать с дополнительным условием следующего вида: для любых ненулевых $g,h \in G$ найдутся такие натуральные $m,n$, что $mg = nh$.
Вопрос 2. Есть ли название для абелевых групп, в которых выполнено это свойство?

Доказательство такое. Пусть $g \in G$ --- любой ненулевой элемент. На нём зададим значение гомоморфизма $\varphi(g)$ произвольно. Пусть теперь $h \in G$ --- другой ненулевой элемент. Тогда $mg = nh$, поэтому $m \varphi(g) = n \varphi(h)$. Так как $G$ у нас --- $D$-группа, то существует единственный элемент $\gamma \in G$ такой, что $n \gamma = (m \varphi(g))$. Поэтому значение $\varphi(h) = \gamma$ однозначно определено.

[AV_77]

Nimza в сообщении #706362 писал(а):

Вопрос 1.

Нет. Как пример $\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q}$.

[Nimza]

Спасибо, а есть ли какое-то естественное обобщение аддитивной группы $\mathbb{Q}$ в том плане, что это это равенство будет верно?

[AV_77]

Похоже нет. Ваши $D$-группы это частный случай полных групп. А любая полная группа представляется в виде декартова произведения групп $\mathbb{Q}$ и квазициклических групп. Эндоморфизмы квазициклических групп устроены по другому (кольца матриц над $p$-адическими числами), да и сами квазициклические группы не удовлетворяют единственности деления. Поэтому такие сомножители исключаются. А если в произведение входит несколько $\mathbb{Q}$, то эндоморфизмы --- полная линейная группа, которая снова не изоморфна произведению групп $\mathbb{Q}$.

PS. Хотя, если рассматривать группы с операторами, то вроде бы любое расширение поля $\mathbb{Q}$ будет такой группой (конечно, при этом эндоморфизмы должны сохранять умножение на операторы). Может еще что-то можно найти.