Демидович ряд

[devgen]

Задача из Демидовича:
$\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2})=\lim\frac{n(n-1)}{2n^2}=\frac{1}{2}$

Но он же расходится? $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(n-1)}{n^2}$ Исходя, например, из интегрального признака.

[ИСН]

Кто "он"? Подобные слова обычно говорят о бесконечных рядах. А я не вижу здесь ни одного бесконечного ряда.

-- Пт, 2013-04-05, 01:03 --

в условии, то есть. Ваш - вижу. А при чём он тут?

[zychnyy]

Можно ведь и так записать:
$\lim\limits_{n\to \infty } \frac{1}{n^2}\sum_{k=2}^{n}(k-1)$.
devgen так ведь?

[bot]

Так он так и сделал, а потом ему ряд привиделся.

-- Пт апр 05, 2013 14:31:35 --

Хотя мог бы $\int\limits_0^1xdx$

[devgen]

Отлично, спасибо.

bot
Я путаюсь с римоновой суммой :(
$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(k+1)-k}{n}\cdot\frac{k}{n}$

И вот, чтобы темы не плодить:
Найти сумму ряда $\sum\frac{n}{4^{n+1}}$
Идей нет..с таким знаменателем к функциональному не сведешь

[Shadow]

Тоесть, $x^2+2x^3+3x^4+\cdots$ ?

[zychnyy]

Один из вариантов:
$S_n=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{4^{n+1}}=\frac{1}{16}+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n+1}{4^{n+2}}=\frac{1}{16}+\frac{1}{4}{S}_{n}+\frac{1}{16}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{4^{n}}.$

-- 05.04.2013, 19:10 --

Цитата:

с таким знаменателем к функциональному не сведешь

devgen как раз таки можно.

[devgen]

Спасибо!

$\frac{1}{16}\cdot(\frac{1}{1-x})'$

[zychnyy]

$S_n=\frac{1}{16} \sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{4}^{n-1}}.$
$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n\cdot {x}^{n-1}\Rightarrow S_n=\frac{1}{16}f(\frac{1}{4}).$
Осталось проинтегрировать и вычислить производную.

[devgen]

zychnyy
ну да и? я же это и написал

[zychnyy]

devgen там $(\frac{x}{1-x})'$, а не $(\frac{1}{1-x})'$.

[devgen]

zychnyy

$\sum \frac{n}{4^{n+1}}=\frac{1}{16}\sum \frac{n}{4^{n-1}}=\frac{1}{16}\cdot(1+2\cdot\frac{1}{4}+3\cdot\frac{1}{4^2}+...)=1+2x+3x^2+...=(x+x^2+x^3+....)'$

[bot]

(Оффтоп)

devgen в сообщении #706127 писал(а):

Я путаюсь с римоновой суммой

Сумма - ерунда, было бы ударение правильным. Римо́н или Ри́мон?

[devgen]

bot

(Оффтоп)

На первый слог, вроде бы

[zychnyy]

(Оффтоп)

Цитата:

На первый слог, вроде бы

devgen Риман.