О-большое

[Ward]

Здравствуйте!
Как показать, что $\ln x=o(x^{\delta})$, где $0<\delta<1$
Желательно элементарными методами.

[ИСН]

Где.

-- Чт, 2013-04-04, 23:20 --

Где, в какой области по иксу?

[Ward]

При $x\to \infty$

[SpBTimes]

Найдите предел $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln{x}}{x^{\delta}}$

[RIP]

Достаточно проверить, что $\ln x<x$ при $x\ge\mathrm e$, потому что тогда $\ln x=\frac1\delta \ln x^{\delta}=O(x^\delta)$. А первое следует из того, что при $x\ge1$ выполнено $\mathrm e^x>x$ (можно доказать индукцией по $n$, что это верно при $x\in[n,n+1)$). Достаточно элементарное рассуждение, по-моему.

[Ward]

Здесь ведь у Вас О-большое, а требуется о-малое.

[RIP]

Но $\delta$ произвольно, а $x^{\delta/2}=o(x^\delta)$.