Сравнение чисел

[Terraniux]

Всем доброго времени суток!
Помогите с идеей по решению задачи не из простых.

Сравните числа $\left(1+\frac{2}{2^4}\right)\left(1+\frac{2}{3^4}\right)\ldots\left(1+\frac{2}{20132013^4}\right)$ и $\sqrt\frac{3}{2}$
Какие у меня идеи: 1) если заменить 4 степень на куб, то левая часть будет больше правой (но это тоже строго доказать надо). 2) применять "первое с последним, второе с предпоследним", 3)

[ИСН]

(Оффтоп)

Это просто чтобы не забыть:

$$\ch(2^{3/4}\pi)-\cos(2^{3/4}\pi)\over6\sqrt2\pi^2$$

Первая мысль бесполезна, а вторая - как хотите, но по-моему, бесперспективна.
Надо искать какие-то удачные оценки.

-- Чт, 2013-04-04, 23:15 --

Пример удачной оценки в другой ситуации:

$$\sum\limits_2^\infty{1\over n^2}<\sum\limits_2^\infty{1\over n^2-1}={1\over2}\sum\limits_2^\infty\left({1\over n-1}-{1\over n+1}\right)={1\over2}\left({1\over 1}-{1\over 3}+{1\over 2}-{1\over 4}+{1\over 3}-{1\over 5}+\dots\right)={3\over4}$$

Вот что-то такое нужно.

[RIP]

Недавно упоминалась в олимпиадном разделе похожая задачка с недавней ММО. Нужно подгонять под $\displaymath\prod_{n=2}^\infty\frac{n^3+1}{n^3-1}=\frac32$. Например, так: $\left(1+\frac2{n^4}\right)^2=1+\frac4{n^4}\left(1+\frac1{n^4}\right)<1+\frac2{n^3}\left(1+\frac1{n^3}\right)<1+\frac2{n^3-1}$.

[R_e_n]

$A=\frac{(2^4+2)}{2^4}\frac{(3^4+2)}{3^4}...\frac{(20132013^4+2)}{20132013^4}$

Все множители больше единицы.
$ 1.22=\sqrt{\frac 23}<1.125=\frac{(2^4+2)}{2^4}<A $

Вот это $ 1.22=\sqrt{\frac 23}$ я на калькуляторе посчитал))

[RIP]

С каких это пор $1.22<1.125$? Первое число меньше, причём с достаточно большим запасом.

[R_e_n]

RIP в сообщении #705886 писал(а):

С каких это пор $1.22<1.125$? Первое число меньше, причём с достаточно большим запасом.

А да, туплю под вечер, извините)

[Terraniux]

RIP в сообщении #705877 писал(а):

Недавно упоминалась в олимпиадном разделе похожая задачка с недавней ММО. Нужно подгонять под $\displaymath\prod_{n=2}^\infty\frac{n^3+1}{n^3-1}=\frac32$. Например, так: $\left(1+\frac2{n^4}\right)^2=1+\frac4{n^4}\left(1+\frac1{n^4}\right)<1+\frac2{n^3}\left(1+\frac1{n^3}\right)<1+\frac2{n^3-1}$.

Да, удачную оценку найти нужно, но здесь этот метод не прокатывает - левую часть увеличили, а то что в итоге - стало больше правой части. Так что не понятно. Мне видится, что левая часть меньше, и, наверное, можно применить что-то вроде $A\rightarrow\left(1+\frac{2}{2^4-1}\right)\ldots$

[RIP]

Я доказываю, что $(\text{произведение})^2<\frac32$.

[Terraniux]

RIP в сообщении #705898 писал(а):

Я доказываю, что $(\text{произведение})^2<\frac32$.

Я понял, но у нас не $\frac{n}{2}$ чисел, а $n$. Поэтому, возведя в квадрат, мы получим еще большее число. Такое решение, прокатило бы против $\frac{3}{2}$, но не $\sqrt\frac{3}{2}$

[ИСН]

Terraniux, Вы говорите мимо смысла. Перечитайте сообщение ещё раз.

[Terraniux]

ИСН в сообщении #705910 писал(а):

Terraniux, Вы говорите мимо смысла. Перечитайте сообщение ещё раз.

Скажу четче: если заменим $A\rightarrow\left(1+\frac{2}{2^3}\right)\ldots\left(1+\frac{2}{n^3}\right)\rightarrow \left(1+\frac{2}{2^3-1}\right)\ldots\left(1+\frac{2}{n^3-1}\right)$, то получим число, большее, чем $\sqrt{\frac{3}{2}}$.

[ИСН]

Разумеется. Ведь этак мы получим $3\over2$. Возможно, именно поэтому RIP не предлагает заменять A на это. А что же он предлагает? Э?

[Евгений Машеров]

Я бы прологарифмировал. Затем заменил бы логарифм его разложением в ряд, заметив, что при заданном числе под логарифмом второй член разложения отрицателен, а сумма последующих по абсолютной величине меньше второго, так что первый член ряда даёт оценку сверху. Затем просуммировать их. Там очень известный ряд получается. И опять потенцировать.

-- 05 апр 2013, 12:15 --

В общем, у меня получилось слева (оценка сверху) 1.178976239, а справа 1.224744871
Подсказка:

(Оффтоп)

- посмотрите ряд Тейлора для $\ln(1+x)$ и сумму обратных четвёртых степеней

[TOTAL]

Совсем по-детски:

$$\left(1+\frac{2}{2^4}\right)\left(1+\frac{2}{3^4}\right)\ldots\left(1+\frac{2}{n^4}\right) <\left(\frac{\left(1+\frac{2}{2^4}\right)+\left(1+\frac{2}{3^4}\right)+\ldots+\left(1+\frac{2}{n^4}\right)}{n-1}\right)^{n-1}< e^M,$$

где

$$M=2\left(\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\int_3^{\infty}x^{-4}dx\right)$$

[Евгений Машеров]

Ну, собственно, и в ряд разлагать незачем.
Достаточно $\ln(1+x) \leq x$