Обобщение калибровочного принципа Янга-Миллса

[VladTK]

Хочу предложить уважаемому обществу форума свою попытку обобщения калибровочного принципа Янга-Миллса. Эта попытка сводится к некоторой процедуре, которую я называю принципом "токового одевания". Предлагаемый ниже текст - это вариант статьи, отправленный мной в УФН. Итак...

Сразу приведу использованную литературу:

1. C N Yang, R Mills, Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance, Phys. Rev. 96, 191 (1954)

2. Deser S, “Self-interaction and gauge invariance”, 1970, Gen. Rel. Grav., v. 1, p. 9-18

3. Боголюбов Н Н, Ширков Д В Введение в теорию квантованных полей. - 4-е изд., испр. - (М.: Наука. Главная редакция физико-математической литераиуры, 1984)

4. Ландау Л Д, Лифшиц Е М Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. II. Теория поля.- 7-е изд., испр.-(М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988)

5. Luke M Butcher, Michael Hobson, and Anthony Lasenby. Bootstrapping gravity: a consistent approach to energy-momentum self-coupling. 2009; arXiv: gr-qc/0906.0926v1

6. Moshinsky M, “On the interactions of Birkhoff's gravitational field with the electromagnetic and pair fields”, 1950, Phys. Rev., v. 80, p. 514

Теперь текст статьи:

1. Принцип «токового одевания».

В 1954 г. была опубликована статья Янга и Миллса [1] о возможности построения теории поля с взаимодействием для физической системы, функционал действия которой инвариантен относительно калибровочных преобразований динамических переменных, составляющих некоторую группу симметрии

$$ \psi \to \psi'=\hat{P}(\alpha) \psi \eqno{(1)}$$

Здесь $\psi$ - динамическая переменная теории, $\hat{P}(\alpha)$ - оператор преобразования, зависящий от некоторого параметра $\alpha$ (возможно нескольких параметров), определяющего преобразование. Первоначально, эти параметры предполагаются едиными для всех точек пространства-времени (глобальная симметрия). Инвариантность функционала действия предполагает, что выполняется соотношение

$$ S'[\psi ']=S[\psi] \eqno{(2)} $$

Это означает, что лагранжиан теории $L(\psi)$ (выбрана система единиц $\hbar=c=1$)

$$ S[\psi]=\int L(\psi) d\Omega \eqno{(3)}$$

при калибровочных преобразованиях изменяется, самое большое, на полную дивергенцию.

Теперь, вслед за Янгом и Миллсом, «локализуем» преобразования. А именно, представим, что параметры преобразований зависят от координат пространства -- времени

$$ \alpha=\alpha(x) $$

Если потребовать, чтобы инвариантность действия сохранялась и при таких «локализованных» калибровочных преобразованиях динамических переменных, то в лагранжиане придется ввести калибровочные поля, компенсирующие дополнительные нежелательные слагаемые («удлинить» ковариантную производную теории). В результате, мы получаем теорию с взаимодействием. Подобная математическая процедура лежит в основе современной Стандартной Модели физики элементарных частиц.

Нашей целью будет обобщение подобной процедуры «локализации» калибровочной симметрии. В качестве отправной точки используем тоже, что и в обычной калибровочной процедуре — физическую систему с действием, инвариантным относительно преобразований некоторой глобальной группы симметрии

$$ {{}^0 S[\psi]}=\int {}^0 L(\psi) d\Omega $$

Заметим, что согласно теоремам Нетер [3], из инвариантности действия следует существование сохраняющегося тока симметрии

$$ D_{\mu} J^{\mu}=0 $$

Данный ток можно получить из лагранжиана ${}^0 L$ с помощью некоторого оператора

$$ J^{\mu}=\hat{J}^{\mu} (\psi) \eqno{(4)} $$

который мы будем называть «токовым». Индекс $\mu$ здесь обозначает все ковариантные индексы. В общем случае, этот «токовый» оператор является некоторым линейным дифференциальным оператором.

Для построения лагранжиана теории с взаимодействием построим ряд

$$ L=\left \{ \hat{I}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} k_n \left ( A_{\mu} \hat{J}^{\mu} \right )^n \right \} {{}^0 L} \eqno{(5)}$$

где $\hat{I}$ — единичный оператор, $A_{\mu}$ - динамическая переменная («потенциал») калибровочного поля, а $k_n$ – некоторые числовые коэффициенты. Конечно подразумевается, что ряд имеет смысл в математическом отношении. Ряд (5) отражает сущность принципа «токового одевания»: сохраняющийся ток системы должен взаимодействовать с соответствующим калибровочным полем так, как это записано в (5). Подчеркнем, что фактически впервые подобную процедуру ввода в теорию взаимодействия применил Дезер [2] в 1970 году. Но он ограничился лишь такими рядами (5), в которых подобраны коэффиценты $k_n$, которые приводят к локально калибровочным («самосогласованным») теориям. В общем случае, подобный подход является лишь одним из возможных.

При использовании принципа «токового одевания» задача построения лагранжиана с взаимодействием сводится к выбору коэффицентов в ряде (5). Возможны разнообразные варианты выбора этих коэффицентов. В качестве примеров, рассмотрим две системы, взаимодействующих с электромагнитным полем и два варианта полевой теории гравитации.

-- Чт июл 15, 2010 21:31:13 --

2. Взаимодействие с электромагнитным полем.

Пусть у нас есть система невзаимодействующих электрон - позитронного и электромагнитного полей с «свободным» лагранжианом (в обозначениях мы следуем [3])

$$ {}^0 L = \frac{i}{2} \left ( \overline {\psi} \gamma^{\mu} D_{\mu} \psi - D_{\mu} \overline {\psi} \gamma^{\mu} \psi \right ) - m \overline {\psi} \psi - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} \eqno{(6)} $$

где $\psi$– Дираковский би-спинор, а $F_{\mu \nu}$ - тензор напряженностей электромагнитного поля. Данный лагранжиан инвариантен, как известно, относительно глобальных калибровочных преобразований группы $U(1)$

$$ \psi'=e^{i \alpha} \psi $$

$$ A_{\mu}'=A_{\mu} \eqno{(7)}$$

Данной симметрии физической системы соответствует сохраняющийся ток [3]

$$ J^{\mu}=i e \left ( \overline{\psi} \frac{\partial L}{\partial (D_{\mu} \overline{\psi})} - \psi \frac{\partial L}{\partial (D_{\mu} \psi)} \right )= e \overline{\psi} \gamma^{\mu} \psi \eqno{(8)}$$

где $e$ - элементарный заряд.

Отсюда видно, что «токовый» оператор равен

$$ \hat{J}^{\mu}=i e \left ( \overline{\psi} \frac{\partial }{\partial (D_{\mu} \overline{\psi})} - \psi \frac{\partial }{\partial (D_{\mu} \psi)} \right ) \eqno{(9)}$$

Тогда формула (5) для лагранжиана с взаимодействием примет вид

$$ L = {{}^0 L} + k_1 \left (A_{\mu} \hat{J}^{\mu} \right ) {{}^0 L} + k_2 \left ( A_{\mu} \hat{J}^{\mu} \right ) \left (A_{\nu} \hat{J}^{\nu} \right ) {{}^0 L} + \ldots \eqno{(10)}$$

Результатом действия «токового» оператора на «свободный» лагранжиан будет

$$ \left (A_{\mu} \hat{J}^{\mu} \right ) {{}^0 L} = e A_{\mu} \overline{\psi} \gamma^{\mu} \psi \eqno{(11)}$$

а более старшие «степени» этого оператора дают очевидно нулевой вклад в ряд

$$ \left (A_{\mu} \hat{J}^{\mu} \right )^n {{}^0 L} = 0 \eqno{(12)}$$

при $n>1$. Таким образом, мы получаем известный лагранжиан КЭД

$$ L = {{}^0 L} + k_1 e A_{\mu} \overline{\psi} \gamma^{\mu} \psi \eqno{(13)}$$

а коэффицент $k_1$ равен 1.

Очевидно, что подобный же результат получится и для теорий с неабелевыми группами симметрий, типа $SU(n)$. Но следующий пример показывает, что принцип «токового» одевания не только повторяет, но и обобщает результаты принципа локальной калибровочной инвариантности.

Рассмотрим систему из комплексного скалярного и электромагнитного полей

$$ {{}^0 L} = D^{\mu} \psi^{*} D_{\mu} \psi - m^2 \psi^{*} \psi - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} \eqno{(14)}$$

где $\psi$ - комплексное скалярное поле. Данный лагранжиан также инвариантен относительно преобразований (7). Сохраняющийся ток имеет вид

$$ J^{\mu}=i e \left ( \psi^{*} \frac{\partial L}{\partial (D_{\mu} \psi^{*})} - \psi \frac{\partial L}{\partial (D_{\mu} \psi)} \right )= i e \left (\psi^{*} D^{\mu} \psi - D^{\mu} \psi^{*} \psi \right ) \eqno{(15)}$$

и «токовый» оператор равен

$$ \hat{J}^{\mu}=i e \left ( \psi^{*} \frac{\partial }{\partial (D_{\mu} \psi^{*})} - \psi \frac{\partial}{\partial (D_{\mu} \psi)} \right ) \eqno{(16)} $$

Но в отличие от действия «токового» оператора спинорного поля (11) действие оператора (16) окончивается не первым слагаемым в ряде (5), как это видно из (15)

$$ \left (A_{\mu} \hat{J}^{\mu} \right ) {{}^0 L} = i e A_{\mu} \left (\psi^{*} D^{\mu} \psi - D^{\mu} \psi^{*} \psi \right ) \eqno{(17)}$$

а вторым

$$ \left (A_{\mu} \hat{J}^{\mu} \right ) \left (A_{\nu} \hat{J}^{\nu} \right ) {{}^0 L} = 2 e^2 A_{\mu} A^{\mu} \psi^{*} \psi \eqno{(18)}$$

Поэтому лагранжиан с взаимодействием (5) равен

$$ L = {{}^0 L} + i e k_1 A_{\mu} \left (\psi^{*} D^{\mu} \psi - D^{\mu} \psi^{*} \psi \right ) + 2 e^2 k_2 A_{\mu} A^{\mu} \psi^{*} \psi \eqno{(19)}$$

Сравнивая этот лагранжиан с локально калибровочно-инвариантным лагранжианом

$$ L = {{}^0 L} + i e A_{\mu} \left (\psi^{*} D^{\mu} \psi - D^{\mu} \psi^{*} \psi \right ) + e^2 A_{\mu} A^{\mu} \psi^{*} \psi \eqno{(20)}$$

становится ясно, что (20) является частным случаем (19) когда

$$ k_1=1 , k_2=\frac{1}{2} \eqno{(21)}$$

В отличие от лагранжиана (20), который инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований, лагранжиан (19) остался инвариантным только относительно глобальных калибровочных преобразований (если не выполнены условия (21)). Но тем не менее, калибровочное поле стало взаимодействовать с полем-источником.

[VladTK]

3. Калибровочный принцип Янга-Миллса как частный случай принципа "токового одевания".

Возможность получить локально калибровочно-инвариантный лагранжиан процедурой "токового одевания" (подобно выводу (20) из (19)) исходно заложена в ее механизме. Покажем это.

Рассмотрим ряд (5) с коэффициентами

$$ k_n=\frac{1}{n!} \eqno{(22)}$$

т.е.

$$ L=\left [ \hat{I}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\left ( A_{\mu} \hat{J}^{\mu} \right )^n}{n!} \right ] {{}^0 L} \eqno{(23)}$$

В квадратных скобках очевидно стоит операторная экспонента

$$ L=\exp{ \left \{ A_{\mu} \hat{J}^{\mu} \right \} } {{}^0 L} \eqno{(24)}$$

Вид операторов тока (9) и (16) показывает, что это дифференциальные операторы $\frac{\partial}{\partial (D_{\mu} \psi)}$ относительно производных полей-источников $D_{\mu} \psi$. "Свободный" лагранжиан, в свою очередь, является некоторой функцией тех же производных $D_{\mu} \psi$. Действие операторной экспоненты в (24) легко проследить в случае электродинамики (формулы (6) и (9))

$$L=\exp{ \left \{ i e A_{\mu} \left ( \overline{\psi} \frac{\partial }{\partial (D_{\mu} \overline{\psi})} - \psi \frac{\partial }{\partial (D_{\mu} \psi)} \right ) \right \} } \; {{}^0 L(D_{\mu} \psi, D_{\mu} \overline{\psi})} \eqno{(25)}$$

Для дальнейшего изложения потребуется операторный вариант формулы Тейлора

$$ \exp{\left ( a \frac{d}{dx} \right )} \; f(x) = f(x+a) $$

Действие экспоненты в (25), таким образом, сводится к "удлинению" ковариантных производных "свободного" лагранжиана

$$L={{}^0 L(D_{\mu} \psi - i e A_{\mu} \psi, \; D_{\mu} \overline{\psi}+i e A_{\mu} \overline{\psi})} \eqno{(26)}$$

т.е. к стандартной процедуре Янга-Миллса. Подобный результат процедуры "токового одевания" не зависит от конкретного выбора лагранжиана электродинамики и является ее общим свойством, связанным только с выбором коэффициентов (22).

-- Пт июл 16, 2010 17:35:01 --

4. Взаимодействие с гравитационным полем.

Функционал действия любой физической системы инвариантен относительно координатных преобразований группы Пуанкаре. Соответственно имеется сохраняющийся ток этой симметрии — тензор энергии-импульса системы. В соответствии с принципом «токового одевания» должно существовать взаимодействие с этим сохраняющимся током. Но как мы сейчас увидим, в отличие от рассмотренных выше случаев, взаимодействие с таким током не будет обрываться на каком-либо слагаемом ряда (5) и ряд становится бесконечным.

Существует два определения тензора энергии-импульса: каноническое и метрическое. Их различия сводятся, как известно, к полной дивергенции. В интегральных сохраняющихся величинах эта разница не играет роли, но при рассмотрении локальных характеристик поля (типа лагранжиана) эти определения дадут, в общем случае, разный результат. Мы считаем, что более адекватным определением тензора энергии-импульса является метрическое, поскольку получаемый тензор сразу имеет необходимый вид симметрии.

Выбор метрического определения тензора энергии-импульса с неизбежностью диктует нам расширение исходной симметрии физической системы относительно координатных преобразований группы Пуанкаре до общекоординатных преобразований. Заметим однако, что подобное расширение не требует выхода за рамки пространства-времени Минковского.

Пусть у нас есть физическая система, описываемая "свободным" лагранжианом ${{}^0 L}$ в пространстве-времени Минковского с метрическим тензором $\eta_{\mu \nu}$.

Тогда, по определению, метрический тензор энергии-импульса системы равен [4]

$$ T^{\mu \nu} = - \frac{2}{\sqrt{-\eta}} \frac{\delta (\sqrt{-\eta} L)}{\delta \eta_{\mu \nu}} \eqno{(27)}$$

Перед вариационной производной сюда входит множитель из квадратного корня определителя метрики. Поэтому будет удобно перейти в (5) от лагранжиана к лагранжевой плотности

$$ N = \sqrt{-\eta} L \eqno{(28)}$$

Тогда «токовый» оператор примет вид

$$ \hat{J}^{\mu \nu} = - 2 \frac{\delta}{\delta \eta_{\mu \nu}} \eqno{(29)}$$

Лагранжева плотность с взаимодействием (5) равна (гравитационный потенциал мы будем обозначать через $\varphi_{\mu \nu}$)

$$ N = \left \{ \hat{I} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} k_n \left (- 2 \varphi_{\mu \nu} \frac{\delta}{\delta \eta_{\mu \nu}} \right )^n \right \} {{}^0 N} \eqno{(30)}$$

Из (30) очевидно, что ряд никогда не обрывается.

В качестве возможных вариантов выбора коэффициентов $k_n$ в (30) рассмотрим следующие два случая:

А. $k_n$ есть коэффициенты разложения экспоненты $e^{-x}$ в ряд Тейлора

$$ k_n=\frac{(-1)^n}{n!} \eqno{(31)}$$

Тогда

$$ N = \left \{ \hat{I} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \left (2 \varphi_{\mu \nu} \frac{\delta}{\delta \eta_{\mu \nu}} \right )^n \right \} {{}^0 N} \eqno{(32)}$$

Сумма ряда очевидно даст операторную экспоненту

$$ N = e^{2 \varphi_{\mu \nu} \frac{\delta}{\delta \eta_{\mu \nu}}} \; {{}^0 N} \eqno{(33)}$$

Действие такой экспоненты сводится к сдвигу аргумента у прообраза, т.е. если «свободная» лагранжева плотность есть функция метрического тензора

$$ {{}^0 N} = {{}^0 N} (\eta) \eqno{(34)}$$

то лагранжева плотность с взаимодействием есть функция от суммы метрического и гравитационного тензоров

$$ N = {{}^0 N} (\eta+2 \varphi) \eqno{(35)}$$

Т.е., фактически, мы получили что эволюция физической системы идет в пространстве-времени с метрикой

$$ g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+2 \varphi_{\mu \nu} \eqno{(36)}$$

Это утверждение является «сильным» принципом эквивалентности, лежащим в основе ОТО. Таким образом, мы имеем теорию, математически эквивалентную ОТО. К аналогичным результатам пришли и авторы работы [5].

Б. $k_n$ есть коэффициенты Тейлоровского разложения функции

$$ f(x)=\frac{1}{1+x} \eqno{(37)}$$

т.е.

$$ k_n=(-1)^n \eqno{(38)}$$

Имеем

$$ N = \left \{ \hat{I} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left (2 \varphi_{\mu \nu} \frac{\delta}{\delta \eta_{\mu \nu}} \right )^n \right \} {{}^0 N} \eqno{(39)}$$

Ряд в (39) можно представить как оператор

$$ N = \left (1 - 2 \varphi_{\mu \nu} \frac{\delta}{\delta \eta_{\mu \nu}} \right )^{-1} \; {{}^0 N} \eqno{(40)}$$

или

$$ \left (1 - 2 \varphi_{\mu \nu} \frac{\delta}{\delta \eta_{\mu \nu}} \right ) N ={{}^0 N} \eqno{(41)}$$

Раскрыв скобки получим

$$ N = {{}^0 N}+2 \varphi_{\mu \nu} \frac{\delta N}{\delta \eta_{\mu \nu}} \eqno{(42)}$$

Возвращаясь к лагранжианам имеем

$$ L = {{}^0 L}+\frac{2 \varphi_{\mu \nu}}{\sqrt{-\eta}} \frac{\delta (\sqrt{-\eta} L)}{\delta \eta_{\mu \nu}} \eqno{(43)}$$

С учетом определения метрического тензора энергии-импульса (27) формула (43) перепишется как

$$ L = {{}^0 L}-\varphi_{\mu \nu} T^{\mu \nu} \eqno{(44)}$$

где $T^{\mu \nu}$– тензор энергии-импульса с учетом взаимодействия с гравитационным полем. Впервые подобный лагранжиан взаимодействия с гравитационным полем предложил в 1950 г. Мошинский [6], поэтому эту модель можно назвать полевой теорией гравитации Мошинского.

[ИгорЪ]

это все надо обдумать. Непонятна только мотивация.

[VladTK]

Ну для общего обдумывания я и выложил этот опус. Было бы весьма интересно услышать мнение уважаемого сообщества о возможности такого пути развития теории.

А мотивация... Она возникла как потребность/возможность обобщения. В ходе работы над полевой теорией гравитации Мошинского мне пришло в голову, что формулировка этой теории является лишь частным случаем более общего класса теорий. Так и возник принцип "токового одевания".

[myhand]

А что конкретно она обобщает? Сохраняется глобальная симметрия (=> сохраняется ток) + вводится взаимодействие. Но разве можно говорить, что появляются локальные (калибровочные) симметрии?

PS: Если есть ссылка на препринт - добавьте, пожалуйста.

[VladTK]

myhand писал(а):

А что конкретно она обобщает?...

Процедура "токового одевания" конкретно обобщает механизм ввода взаимодействия между полем-источником и калибровочным полем, т.е. обобщает калибровочный принцип Янга-Миллса. Простота рассмотренных примеров из электродинамики не должна вводить в заблуждение. "Токовое одевание" является в определенном смысле непертурбативным методом описания сложных нелинейных систем (причем их сложность может существенно превосходить локально калибровочные теории).

myhand писал(а):

...Сохраняется глобальная симметрия (=> сохраняется ток) + вводится взаимодействие. Но разве можно говорить, что появляются локальные (калибровочные) симметрии?...

Во-первых, применение "токового одевания" не имеет своей целью получение лишь локально-калибровочных теорий. Ведь даже в Стандартой Модели мы вынуждены использовать по сути локально калибровочно-неинвариантную теорию. И во-вторых, я уже выше показал, что при определенном выборе коэффициентов ряда (5) мы всегда можем получить теорию, обладающую не только глобальной но и локальной калибровочной инвариантностью.

myhand писал(а):

...PS: Если есть ссылка на препринт - добавьте, пожалуйста.

Нету. Но при желании могу скинуть на почту pdf.

Вообще, я понимаю что может показаться, будто метод является каким-то "искусственным" что-ли. Т.е. не ясно какую пользу он может принести. Однако одно уже определение "токового" оператора (29) в той же теории гравитации позволяет очень далеко продвинуться в рассмотрении не просто одной какой-то теории, а целого их класса. Я уже раньше излагал элементы такого подхода здесь на форуме (например topic6843.html и topic17685.html)

[SergeyGubanov]

VladTK в сообщении #339386 писал(а):

Для построения лагранжиана теории с взаимодействием построим ряд

$$ L=\left \{ \hat{I}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} k_n \left ( A_{\mu} \hat{J}^{\mu} \right )^n \right \} {{}^0 L} \eqno{(5)}$$

где $\hat{I}$ — единичный оператор, $A_{\mu}$ - динамическая переменная («потенциал») калибровочного поля, а $k_n$ – некоторые числовые коэффициенты.

Первое что мне пришло в голову после прочтения, так это возможность ввести в рассмотрение бесконечное количество калибровочных полей $A_{\mu}$, $A_{\mu \nu}$, $A_{\mu \nu \sigma}$, ну и так далее:

$$ L = \left \{ \hat{I} + k_1 A_{\mu} \hat{J}^{\mu} + k_2 A_{\mu \nu} \hat{J}^{\mu} \hat{J}^{\nu} + k_3 A_{\mu \nu \sigma} \hat{J}^{\mu} \hat{J}^{\nu} \hat{J}^{\sigma} + \ldots \right \} {{}^0 L} \eqno{(5')}$$

$$S = S_0 + k_1 \int \varphi_{\mu \nu} \frac{\delta S_0}{\delta g_{\mu \nu}} \sqrt{-g} \, d_4 x + k_2 \int \varphi_{\mu \nu \alpha \beta} \frac{\delta^2 S_0}{\delta g_{\mu \nu} \delta g_{\alpha \beta}} \sqrt{-g} \, d_4 x + \ldots \eqno(5'')$$

[VladTK]

Я сомневаюсь, что такое обобщение будет иметь какой-то успех в теории поля. Во-первых, Ваше обобщение существенно сложнее чем предлагаемое мной. Во-вторых, мое обобщение хорошо аппроксимирует существующие успешные теории поля. В-третьих, мы просто не наблюдаем бесконечного числа калибровочных полей. Если Вы попытаетесь удовлетворить всем требованиям, то в конце концов получите принцип, аналогичный моему.

Конечно определение констант в лагранжиане взаимодействия является дополнительной нетривиальной задачей при применении принципа токового одевания. Но даже не зная этих констант можно сказать очень многое обо всех возможных моделях теории. Как я писал, сам исследую гравитационные модели, а в них ситуация следующая. Уже одно то, что мы исходя из принципа эквивалентности объявляем тензор энергии-импульса источником ("током") гравитационного поля дает богатую информацию о структуре слагаемых лагранжиана взаимодействия. Появляется возможность использовать мощные методы теории инвариантов. В случае если мы, скажем, исследуем такие физические системы как точечная частица или электромагнитное поле появляется возможность пройти почти "до конца" и выяснить как будет вести себя эти системы в гравитационном поле таких моделей.

[VladimirKalitvianski]

VladTK в сообщении #340045 писал(а):

Процедура "токового одевания" конкретно обобщает механизм ввода взаимодействия между полем-источником и калибровочным полем, т.е. обобщает калибровочный принцип Янга-Миллса.

У Вас поле-источник и калибровочное поле физические, как-то измеримые? Я это к чему - в "калибровочной" формулировке КЭД тоже начинают с полей-источников и вводят калибровочные поля со специфическим взаимодействием, и все это как-будто для физических величин, а потом, в процессе расчетов, говорят, мол, они не физические, а голые (затравочные) с ненаблюдаемыми и дикими свойствами, но получившееся взаимодействие все равно правильное. В общем, такое взаимодействие - муть, которую не стоит обобщать ради обобщения.

[VladTK]

Измеримость полей у меня та же что и в обычных теориях. Единственно, что в только глобально калибровочно-инвариантных моделях калибровочный потенциал не имеет калибровочной свободы. Еще одно важное свойство моих моделей - это то что калибровочный потенциал здесь имеет ту же тензорную валентность, что и порождающий его ток: векторый ток порождает векторное поле, тензорный - тензорное, спинорный - спинорное. Если Ваши слова про "муть" верны, то по крайней мере математически это интересно.

[ИгорЪ]

VladTK
А зачем у вас $D$ везде большое? Оно ведь короткое?

[VladimirKalitvianski]

(Оффтоп)

VladTK в сообщении #705093 писал(а):

... по крайней мере математически это интересно.

Да я и не против, на здоровье.

[VladimirKalitvianski]

VladTK в сообщении #340045 писал(а):

Процедура "токового одевания" конкретно обобщает механизм ввода взаимодействия между полем-источником и калибровочным полем, т.е. обобщает калибровочный принцип Янга-Миллса.

Не мне Вам говорить, как поступать, но дело в том, что реальный физический электрон всегда и уже взаимодействует с квантованным электромагнитным полем (т.е., не с внешним). Это значит, что феноменологические уравнения электрона уже как-то содержат это взаимодействие и при развитии теории надо из этого и исходить. Мне кажется, ошибочно думать, что данное взаимодействие надо еще раз вводить. Действительно, когда мы его вводим, то получаем ненужную поправку к массе, кототрую потом вычитаем ("выводим").

Но если на свободное уравнение Дирака посмотреть, как на уравнение центра инерции электрона, связанного в оцилляторах квантованного ЭМП, то, во-первых, становится понятно, почему уравнение Дирака свободное - оно описывает глобальные переменные. А во-вторых, становится понятно, как "микроскопические" координаты электрона, связанного в осцилляторах могут отличаться от координат центра инерции, что-то вроде $\vec{r}_e=\vec{R}+\sum_{\vec{k},\lambda}\varepsilon_{\vec{k},\lambda}\vec{e}_{\vec{k},\lambda}$. В среднем электрон движется так же, как и центр инерции, поэтому феноменологические уравнения столь успешны.

[VladTK]

ИгорЪ в сообщении #705147 писал(а):

VladTK
А зачем у вас $D$ везде большое? Оно ведь короткое?

Лагранжианы предполагаются записанными в произвольных координатах. Соответственно, производные используются ковариантные.

VladimirKalitvianski в сообщении #705228 писал(а):

Не мне Вам говорить, как поступать, но дело в том, что реальный физический электрон всегда и уже взаимодействует с квантованным электромагнитным полем (т.е., не с внешним). Это значит, что феноменологические уравнения электрона уже как-то содержат это взаимодействие и при развитии теории надо из этого и исходить. Мне кажется, ошибочно думать, что данное взаимодействие надо еще раз вводить. Действительно, когда мы его вводим, то получаем ненужную поправку к массе, кототрую потом вычитаем ("выводим").

Но если на свободное уравнение Дирака посмотреть, как на уравнение центра инерции электрона, связанного в оцилляторах квантованного ЭМП, то, во-первых, становится понятно, почему уравнение Дирака свободное - оно описывает глобальные переменные. А во-вторых, становится понятно, как "микроскопические" координаты электрона, связанного в осцилляторах могут отличаться от координат центра инерции, что-то вроде $\vec{r}_e=\vec{R}+\sum_{\vec{k},\lambda}\varepsilon_{\vec{k},\lambda}\vec{e}_{\vec{k},\lambda}$. В среднем электрон движется так же, как и центр инерции, поэтому феноменологические уравнения столь успешны.

Означает ли это, что мы в принципе не способны записать теорию свободного электрон-позитронного поля? Т.е. вначале расчетов предположить, что электромагнитное поле не существует, а потом постепенно его "включать".

[VladimirKalitvianski]

VladTK в сообщении #705292 писал(а):

Означает ли это, что мы в принципе не способны записать теорию свободного электрон-позитронного поля? Т.е. вначале расчетов предположить, что электромагнитное поле не существует, а потом постепенно его "включать".

Да, конечно, означает. Но я говорю о квантованном ЭМП, не о внешнем поле. Внешнее (классическое) можно делать сколь угодно слабым, так что уравнение Дирака даст практически свободную эволюцию. Именно слабое поле и предполагается в "свободном" уравнении Дирака, так как такие вещи, как масса, заряд и спин проявляются во внешнем поле.