Интегралы

[SpBTimes]

Наткнулся в Демидовиче на задачу.
Доказать, что если $f(x)$ интегрируема на $[a, b]$, то существует последовательность непрерывных функций $\varphi_k(x)$ такая, что $\int\limits_{a}^{b}f(x) dx = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b}\varphi_n(x) dx$.
Как это доказать какими-то элементарными методами?

[wronskian]

Элементарными? Напоминает теорему Лебега о монотонной сходимости чем-то

[SpBTimes]

wronskian
Просто интересно, можно ли как-то разрешить этот вопрос без доп. теорем. Так то можно сослаться на тфдп конечно.

[gris]

А если взять критерий интегрируемости того же Лебега? То, что интегрируемая на отрезке функция ограничена, и точки разрыва имеют меру нуль. Тут можно прямо строить семейство функций, переопределяя функцию до непрерывной на очередном покрытии. А только на начальных теоремах трудно будет доказать существование последовательности для функции Римана, например, которая разрывна во всех рациональных точках.

[mihailm]

SpBTimes в сообщении #704535 писал(а):

Наткнулся в Демидовиче на задачу.
Доказать, что если $f(x)$ интегрируема на $[a, b]$, то существует последовательность непрерывных функций $\varphi_k(x)$ такая, что $\int\limits_{a}^{b}f(x) dx = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b}\varphi_n(x) dx$.
Как это доказать какими-то элементарными методами?

все фи константы - разве не подойдет?

[SpBTimes]

gris
А как же ее до непрерывной сглаживать? Там же не получится множество меры ноль, а тогда будет вклад в интеграл.

mihailm в сообщении #704565 писал(а):

все фи константы - разве не подойдет?

То есть как? По т. о среднем $\exists \eta \in (\inf f; \sup f): \int\limits_{a}^{b}f(x) dx = \eta \cdot (b - a)$, и взять все функции $\varphi_k(x) = \eta$?

[devgen]

SpBTimes
Я не очень понимаю, что значит "доказать, что существует". Предъявить пример такой последовательности для $f(x)$? Ну вот $\varphi_n(x)=f(x)+\frac{1}{n}$

[Joker_vD]

А если рассмотреть $F(t)=\int\limits_a^t f(x)\,dx$, приблизить ее многочленами $\Phi_n(t)$ и положить $\varphi_n(x)=\Phi'_n(x)$?

[iifat]

SpBTimes в сообщении #704583 писал(а):

То есть как? По т. о среднем $\exists \eta \in (\inf f; \sup f): \int\limits_{a}^{b}f(x) dx = \eta \cdot (b - a)$, и взять все функции $\varphi_k(x) = \eta$?

То ли формулировка в стартовом письме неточна, то ли почему бы и нет, собственно? И не стоит даже тревожить покой теоремы о среднем, в той формулировке неинтересно, совпадает хоть где-нибудь $\eta$ с $f(x)$.

[gris]

Надо понимать, что буквы в обозначении первоначального отрезка и обозначении пределов интегрирования на самом деле разные. Равенство интегралов в предельном переходе предполагается по любому отрезку интегрирования, вложенному в первоначальный отрезок.

[SpBTimes]

devgen в сообщении #704633 писал(а):

Ну вот $\varphi_n(x)=f(x)+\frac{1}{n}$

А кто сказал, что $\varphi_n(x)$ получается непрерывной?

Joker_vD в сообщении #704634 писал(а):

А если рассмотреть $F(t)=\int\limits_a^t f(x)\,dx$, приблизить ее многочленами $\Phi_n(t)$ и положить $\varphi_n(x)=\Phi'_n(x)$?

То есть воспользоваться т. Вейерштрасса?

gris в сообщении #704647 писал(а):

на самом деле разные

Оп, и правда, это описка. Там должно быть как раз по вложенному отрезку. Так что с константами не проходит, они же могут быть свои для каждого отрезка интегрирования. Но ваш вариант я не очень понял, а вот вариант Joker_vD вроде бы проходит

[mustitz]

SpBTimes в сообщении #704583 писал(а):

mihailm в сообщении #704565 писал(а):

все фи константы - разве не подойдет?

То есть как?

$$\varphi_k(x) = { \int_a^b f(t)\,dt \over b-a }$$

[gris]

SpBTimes, фактически Вы хотите доказать всюду плотность одного множества во втором по некоторой метрике. Для доказательства Joker_vD использует как уже доказанную всюду плотность третьего множества в четвёртом по другой метрике. И совершенно правильно.
Но сможете ли Вы элементарно показать, что многочленами можно приблизить на отрезке (по какой именно метрике?) любую непрерывную функцию и связать это приближение с тем, которое Вы хотите доказать?
В нашем же с Лебегом суперметоде искомая последовательность строится постепенно с использованием только линейной функции.

[SpBTimes]

gris
Многочлены, это тоже не просто конечно, хотя метрика и понятна. А вы можете ваш с Лебегом метод изложить подробнее?

[gris]

Ну а чего там непонятного? Пусть $|f(x)|<M$ на первоначальном отрезке $[a,b]$. Для каждого $n$ покроем точки разрыва непересекающимися во внутренностях отрезками, сумма длин которых меньше $1/2Mn$. На каждом таком отрезке переопределим функцию $f(x)$ на линейную от левого края до правого. Таким образом получим непрерывную функцию, которая будет отличаться от $f(x)$ только на покрытии, причём отличие будет не больше $2M$. Для любого отрезка, принадлежащего первоначальному отрезку, разность интегралов будет не больше $1/n$. В пределе по $n\to \infty$ для заранее выбранного отрезка получим равенство интегралов.
Осталось только формально это оформить.