Найти экстремум функции

[malvinkavika]

Найти $extr f(x)=x_1^4+x_2^4-x_1^2-2x_1x_2-x_2^2+1$
Решение :
1) Необходимые условия экстремума 1-ого порядка :
${f^'}(x^*)= \left( \begin{array}{cc} 4x_1^3-2x_1-2x_2 \\ 4x_2^3-2x_1-2x_2 \end{array} \right)$
2) ${f^'}(x^*)=0$
$4x_1^3-2x_1-2x_2=0$
$4x_2^3-2x_1-2x_2=0$
$x_1=x_2=0$
$x^*=(0;0)^T$
3) Проверим выполнение достаточных условий экстремума :
$H(x^*)=\left( \begin{array}{cc} -2 & -2 \\ -2 & -2 \end{array} \right)$
$A_1=-2<0$
$A_2=0$
Что тогда в точке $x^*$ будет - минимум или максимум?

[Shtorm]

Определитель равен нулю - требуются дальнейшие исследования.

[malvinkavika]

Какие исследования?

-- Пн апр 01, 2013 02:33:58 --

А если бы два раза миноры были отрицательными, то в точке нет экстремума?

[Shtorm]

malvinkavika, если определитель меньше нуля - то нет экстремума. То есть точка образует седло (минимакс). А дальнейшие исследования я бы вёл так: нашёл в точке (0;0) значение функции и нашёл бы в соседних точках значение функции. Например в точках: (1;0), (0;1), (-1;0), (0;-1) сравнил бы и сделал вывод.

-- Пн апр 01, 2013 02:44:05 --

Нет, соседние точки всё же поближе надо брать: (0.1;0), (0;0.1), (-0.1;0), (0;-0.1)

[malvinkavika]

$f(0,0)=1$
$f(1,0)=1$
$f(0,1)=1$
$f(-1,0)=1$
$f(0,-1)=1$
Все они равны между собой, значит это точка минимума?

[Shtorm]

malvinkavika, нет, нет. Это говорит о том, что слишком далеко взяли точки. Надо брать (0.1;0), (0;0.1), (-0.1;0), (0;-0.1)

[malvinkavika]

$f(0.1,0)=0.9901$
$f(0,0.1)=0.9901$
$f(-0.1,0)=0.9901$
$f(0,-0.1)=0.9901$

-- Пн апр 01, 2013 03:09:12 --

Значит точка максимума

[Yu_K]

malvinkavika
Посмотрите поведение вдоль линии $y=x$. Это будет функция одной переменной.

[SpBTimes]

Shtorm в сообщении #704180 писал(а):

Надо брать (0.1;0), (0;0.1), (-0.1;0), (0;-0.1)

Все-таки нужно просто взять точку $(\varepsilon, \delta, \gamma)$, и исследовать на знак $f(x)$ при достаточно малых $\varepsilon, \delta, \gamma$. Конкретную брать и на основе этого делать вывод -нехорошо.

[мат-ламер]

Yu_K в сообщении #704186 писал(а):

malvinkavika
Посмотрите поведение вдоль линии $y=x$. Это будет функция одной переменной.

Я бы смотрел на прямой $x_1+x_2=0$, потому как вне этой прямой в окрестности нуля всё понятно.

-- Пн апр 01, 2013 21:42:53 --

malvinkavika в сообщении #704169 писал(а):

Что тогда в точке будет - минимум или максимум?

Бывают и другие возможности.

[malvinkavika]

извините, не знаю как смотреть на функцию вдоль прямой(((

[Shtorm]

malvinkavika, под этим подразумевается, что Вы вашу трёхмерную поверхность разрезаете плоскостью. Например, плоскостью $x_1+x_2=0$. И в разрезе, сечении этой поверхности получается уже плоская кривая. То есть надо, например, переписать $x_2=-x_1$ и подставить её в исходное уравнение. Тогда получится функция одной переменной, лежащей в этой плоскости и можно посмотреть экстремум этой двумерной функции.

[malvinkavika]

$x_2=-x_1$
$f(x)=2x_1^4+1$
$x_1=0-min$

[Shtorm]

malvinkavika, а вот если подставить $x_2=x_1$, то получится, что у кривой там .....Итого здесь так, а там так, следовательно....

[malvinkavika]

$x_2=x_1$
$f(x)=2x_1^4-4x_1^2+1$
$x_1=0 - max$
значит выходит, что нет экстремума у функции?