Связь между теоремами Пуанкаре и Коши

[lena7]

Имеется теорема Пуанкаре, говорящая, что на стягиваемой области в $\mathbb R^n$ каждая замкнутая диф. форма точная. Это значит, в частности, что интеграл от формы не будет зависеть от пути, а по замкнутому пути будет 0.

Это напомнило похожую ситуацию в комплексном анализе (теорема Коши).

Есть ли между ними какая-то связь?

[Nimza]

Конечно! В одномерном случае, например, возьмите форму $f dz$ для голоморфной функции $f$ и примените лемму Пуанкаре. Скажите, что у Вас получилось. Заодно получите многомерную теорему. Она, кстати, называется теоремой Коши-Пуанкаре (её можно найти во втором томе Шабата).

[lena7]

$\mathbb C\simeq \mathbb R^2$, $f=:u+iv$ можно представить как две гладкие функции $u,v:\mathbb R^2\to\mathbb R$.

$$f\,dz=(u\,dx-v\,dy)+i(v\,dx+u\,dy)=:\omega+i\psi\,.$$

Я подогнала результат, положив $dz=dx+idy$, а можно ли? Диф. формы то должны быть с вещественными коэффициентами (по определению), $dz$ это не форма в моём понимании, а просто формальный значок под знаком интеграла (в контексте ТФКП).

Ладно. Далее всё по маслу. Каждая из форм $\omega,\psi$ замкнуты из-за голоморфности $f$:

$$d\omega=\partial_y u\,dy\wedge dx-\partial_x v\,dx\wedge dy=0\,,$$

ибо $\partial_y u=-\partial_x v$; аналогично $d\psi=0$. По теореме Пуанкаре в стягиваемых областях обе формы точны $\Rightarrow$ их интегралы по замкнутому пути равны 0.

Так? Я ещё растерялась вначале, подумав, что надо рассматривать комплексные многообразия, а Википедия говорит, что это страшная вещь.

UPD. За книжку спасибо, буду читать.

[Nimza]

Замечательно! Хорошо, что Вы начали с $\mathbb{C} \simeq \mathbb{R}^2$. Формы, которые заданы на областях из $\mathbb{C}$ ничем не отличаются от тех, с которыми вы имели дело ранее в $\mathbb{R}^2$. Например, $1$-формы это формальные выражения вида $P(x,y)dx + Q(x,y)dy$, преобразующиеся по известным Вам правилам. Ничего не изменится, если мы просто разрешим $P$ и $Q$ принимать комплексные значения. Но дело в том, что в $\mathbb{C}$ удобнее в качестве "основных" форм выбирать не $dx$ и $dy$, а $dz = dx + i dy$ и $d\overline{z} = dx - i dy$. Вот пример, почему это удобно: пусть $f$ --- гладкая функция $x,y$. Тогда прямым вычислением можно получить, что

$$ df = \frac{ \partial f}{\partial z} dz + \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} d\overline{z} = \partial f + \overline{\partial} f, $$

отсюда сразу видно, что для голоморфных функций (условия Коши-Римана это просто $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0$ или, красивее, $\overline{\partial} f = 0$)

$$ d( f dz) = \frac{\partial f}{\partial z} dz \wedge dz + \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} d \overline{z} \wedge dz = 0. $$

Поэтому $fdz$ точна на односвязных областях.

[alcoholist]

lena7 в сообщении #703674 писал(а):

Диф. формы то должны быть с вещественными коэффициентами (по определению), $dz$ это не форма в моём понимании, а просто формальный значок под знаком интеграла (в контексте ТФКП).

В учебнике Картана
"Элементарная теория аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных"
ТФКП излагается с помощью дифф. форм