Гармонический ряд на множестве

[devgen]

Let $A$ be the set of positive integers that do not contain the digit 9 in their decimal expansions. prove that $\sum_{a\in A}1/a$ converges.

Не могу понять, как выразить такие числа. Вот, пришло в голову, что может так удобнее будет дать какую-то оценку:

$\sum_{n>0}\sum_{10^{n-1}<a\in A<10^{n}}1/a$

[g______d]

Сколько таких чисел между $10^k$ и $10^{k+1}$? Подозреваю, что где-то, чем $8\cdot 9^{k}$. Тогда мажорантой будет $8\sum_k\frac{9^{k}}{10^k}$.

[ИСН]

Дак Вас не выразить просят (что сложнее; такая задача была на ProjectEuler, кстати), а всего лишь доказать сходимость.

-- Пт, 2013-03-29, 22:58 --

Ога, как-то так.

[g______d]

http://en.wikipedia.org/wiki/Kempner_series

[devgen]

Не могу понять, как считать

$$1\dots 10 = 1$$

$$10\dots100 = 1\cdot 10+(10-1)$$

$$100\dots1000 = 10\cdot(1\cdot 10+(10-1))+(100-10)$$

$$1000\dots10000 = 10\cdot(10\cdot(1\cdot 10+(10-1))+(100-10))+(1000-100)$$

И где-то я ошибаюсь, потому что правило ломается(

[ИСН]

Ниасилил, много единиц и нулей.
Вы что-то не то считаете. Не надо те, в которых есть. Считайте те, в которых нет.

[g______d]

Сколько существует последовательностей из $k$ цифр, в которых первая цифра от 1 до 8, а все остальные --- от 0 до 8?

[devgen]

g______d
$8\cdot9^{k-1}$
Здорово, я не подумал об этом

Каждое число не меньше, чем $10^{n-1}$, отсюда получаем мажоранту $8\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9^{n-1}}{10^n}$