Ряд.

[3.14]

Здравствуйте, все участники форума. У меня получился вот такой ряд ( $1< r < R$) :

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(r^n+\frac{1} {r^n}) R^{n+1} \cos(n \psi)}^{n (R^{2n} - 1)} $$

Я хочу "свернуть" этот ряд. Но мне очень мешает "-1" в знаменателе (если бы ее не было, то там довольно не сложно увидеть ряд Тейлора одной функции). Если я не ошибся ранее и если задание не врет, то его можно свернуть : - ).

[Sonic86]

3.14 в сообщении #703191 писал(а):

Я хочу "свернуть" этот ряд. Но мне очень мешает "-1" в знаменателе

Избавьтесь от нее, геометрический ряд Вам в руки.
Или Вам нужно в замкнутом виде найти формулу?

[3.14]

Вообще у меня вот такая ситуация : я решал УрЧП (задача Неймана в кольце для уравнения Лапласа). Решение представилось в виде ряда. Потом по заданию мне нужно свернуть этот ряд. Полностью это выглядит так :

$$ u(r,\varphi) = w_0 + \frac {1} {\pi} \int\limits_{0}^{2 \pi} [\theta(\psi) \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(r^n+\frac{1} {r^n}) R^{n+1} \cos(n (\psi - \varphi))} {n (R^{2n} - 1)} - \gamma(\psi) \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(r^n+\frac{R^{2n}} {r^n}) \cos(n (\psi - \varphi))} {n (R^{2n} - 1)} ] d\psi $$

, где на $w_0$ можно не обращать внимание, $\theta(\psi)$ и $\gamma(\psi)$ - функции из краевых условий. Так вот, мне нужно свернуть все какие есть ряды, а потом уже, имея конкретные $\theta(\psi)$ и $\gamma(\psi)$, предъявить решение. Просто если я не сверну, то ответ будет в виде ряда. Этого бы не хотелось.

[Sonic86]

Да, плохо получается.
Нам нужно вычислить ряд вида $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{a^n}{n(b^n-1)}$, он у меня через разложение $\frac{1}{b^n-1}$ свелся к $-\ln\prod\limits_{k=1}^{+\infty}\left(1-\frac{a}{b^k}\right)$.

[ex-math]

Sonic86
Произведение, которое у Вас получилось, при $a=1$ выражается через эта-функцию Дедекинда.
Думаю, ТС стоит дать ответ в виде ряда, в урматфизе это обычное дело.