Законно ли преобразование?

[godsdog]

Пусть $0<b<a$ и $\varepsilon_n=\begin{cases}1/2&\mbox{если }n=0\\1&\mbox{если }n>0.\end{cases}$
При каких условиях на $f(x),\,g(y)$ следующее преобразование сходящегося ряда можно считать справедливым?

$$A=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^a\int_0^b f(x)g(y)\varepsilon_n\cos(nx)\cos(ny)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_0^a\int_0^b f(x)g(y)D(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

где

$$D(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty}\varepsilon_n\cos(nx)\cos(ny)=\frac{\pi}{2}(\delta(x+y)+\delta(x-y))$$

Откуда

$$A=\frac{\pi}{2}\int_0^b f(y)g(y)\mathrm{d}y.$$

Спасибо.