Обобщенные решения уравнений динамики

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим второй закон Ньютона для материальной точки

$$m\ddot{\overline r}=\overline F(t,\overline r,\dot{\overline r})\qquad (*)$$

на интервале времени $I=(-a,a)$.

Определение. Функция $\overline r(t)\in H^1(I)$ называется обобщенным решением уравнения (*) если для любого вектора $\overline \psi(t)=(\psi_1,\psi_2,\psi_3)(t),\quad \psi_i\in\mathcal{D}(I)$ выполнено равенство

$$-m\int_I(\dot{\overline r}(t),\dot{\overline \psi}(t))dt=\int_I\big(\overline F(t,\overline r(t),\dot{\overline r}(t)),\dot{\overline \psi}(t)\big)dt.\qquad (**)$$

Понятно, что при таком определении мы не можем, вообще говоря, поставить здачу Коши поскольку скорость $\dot{\overline r}(t)\in L^2(I)$ и, не определена в точке.

Однако, это определение полезно для других целей. Предположим ,что при $t<0$ закон движения точки является гладкой функцией времени, в момент $t=0$ точка ударяется о поверхность, после чего скорость точки скачком меняет свое направление $\overline v^\pm=\dot{\overline r}(0\pm)$ и при $t>0$ закон движения точки опять делается гладкой функцией времени.

С помощью стандартных соображений из уравнения (**) получаем

$$m(\overline v^+-\overline v^-)\delta(t)=\overline R,\qquad (***)$$

где $\overline R$ так называемая ударная реакция , говоря неформиально, бесконечно большая ссила, которая действует на точку со стороны поверхности бесконечно малое время. Удобно представить эту силу в виде $\overline R=\overline T\delta(t),$ где $\overline T$ обычный вектор.

Из принципа детерминированности Ньютона естественно считать, что $\overline R=\overline R(\overline r}(0),\overline v^-).$
Величины $\overline r}(0),\overline v^-$ в (***) считаются известными, а скорость $\overline v^+$ подлежащей определению.

Для однозначной разрешимости задачи (***) необходимо ввести какие-то физические гипотезы относительно $\overline R,\overline v^+$.
Например, удар считается абсолютно упругим, если кинетическая энергия точки до и после удара сохраняется: $|\overline v^+|=|\overline v^-|$, а сила $\overline R$ перпендикулярна поверхности (в смысле вектор $\overline T$ перпендикулярен поверхности).
Если удар абсолютно неупругий, то надо считать, что $\overline v^+$ касательна к поверхности. Предположения относительно $\overline R$ при этом могут бьыть различны, и связаны скажем с гипотезами относительно характера трения точки о поверхность.

А как еще можно ввести определения обобщенного решения и какие возможны приложения

[sup]

Как мне кажется, Вы точно указали область применения такого подхода -- движение точки в присутствии неких препятствий. Однако при этом возникает ряд проблем.
Наиболее "простым" выглядит подход использующий вариационные неравенства для определения решения. Однако при этом сложно учесть характер взаимодействия точки с препятствием. Дело в том, что этот характер проявляется в неких соотношениях на скорость точки до и после удара, в то время как вариационные неравенства имеют интегральный характер. В случае абсолютно упругого удара можно дополнительно выписать некие интегральные соотношения выражающие закон сохранения энергии. В этом случае появляется надежда на корректное определение решения. Однако, как выясняется, даже при этом условии в общем случае нет единственности решения. Простейший пример - биллиард на столе с углами. При попадании шара в угол решение в общем случае единственным образом определить не удается. Более того, как это не удивительно, но даже в случае одномерного движения частицы возле стенки единственности решения может не быть. Можно привести пример с гладкой правой частью, для которой существует два гладких решения. В этом примере даже и удара то нет (частица подходит к стенке с нулевой скоростью).
Таким образом, какого-то "очевидного" решения этой проблемы по-видимому не существует.
С другой стороны, для доказательства существования зачастую используется метод штрафа. Суть его заключается в том, что упругая стенка заменяется "жесткой пружиной". Может быть имеет смысл исследовать единственность решения получаемого именно таким образом. (по аналогии с методом исчезающей вязкости для квазилинейных уравнений первого порядка).

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #702225 писал(а):

Можно привести пример с гладкой правой частью, для которой существует два гладких решения. В этом примере даже и удара то нет (частица подходит к стенке с нулевой скоростью).

приведите пожалуйста, это очень интересно

[shwedka]

Oleg Zubelevich в сообщении #702026 писал(а):

А как еще можно ввести определения обобщенного решения и какие возможны приложения

Все вполне подробно, с объяснением, в частности, как корректно задавать начальные условия для обобщенного решения при недостаточной априорной гладкости, в гораздо более общей обстановке объяснено, в частности, в книгах Ладыженской. См., например Краевые задачи математической физики, 1972,
или английское издание, Springer, 1985.

[Oleg Zubelevich]

shwedka в сообщении #702331 писал(а):

Все вполне подробно, с объяснением, в частности, как корректно задавать начальные условия для обобщенного решения при недостаточной априорной гладкости, в гораздо более общей обстановке объяснено, в частности, в книгах Ладыженской. См., например Краевые задачи математической физики, 1972,

Спапсибо, конечно, но это совсем другая история. Я бы кстати посоветовал Вам читать что-нибудь более современное , мне очень нравится M Taylor Partial Differential Equations

[shwedka]

Oleg Zubelevich в сообщении #702345 писал(а):

M Taylor Partial Differential Equations

Книга, конечно, хорошая, но у Ладыженской очень уж старательно рассмотрены разные способы задания слабых граничных задач. Тейлор, в конце концов, в этой теме не специалист, хоть он книгу и написал, в действительности, у него несколько другие интересы.

[sup]

Рассмотрим следующую задачу
$\ddot {x} (t) \geqslant f(t)$
$x \geqslant 0$
$(\ddot {x} (t) - f(t))x(t) = 0$
$x(0)=x_0$
$\dot {x}(0)=x_1$
Второе неравенство показывает, что движение происходит в области $x \geqslant 0$ т.е в задаче присутствует стенка $x=0$.
Первое неравенство означает, что помимо $f$ на частицу действуют еще какие-то силы направленные от стенки $x=0$.
Наконец произведение равное 0 означает, что эта дополнительная сила возникает только на стенке.
Иными словами при взаимодействии с частицей стенка способна создавать силы направленные в область $x>0$.
Поскольку вторых производных у решения вообще говоря нет, данные соотношения надо понимать в смысле распределений. Но мы сейчас на этом не будем особо останавливаться, поскольку наша цель -- построение примеров неединственности. А для этого достаточно и нестрогих формулировок.
В такой формулировке решений может быть великое множество. Ну действительно, все эти неравенства никак не регулируют величину реакции стенки. Так что при ударе частица может остановиться или отразиться с какой угодно скоростью. Поэтому необходимо как-то ограничить этот произвол. На мой взгляд вопрос этот довольно сложный. Но один случай выглядит сравнительно простым. Потребуем, чтобы удар был абсолютно упругим. В этом случае скорость после удара должна быть равна скорости до удара с противоположным знаком. Или, другими словами, квадрат скорости - непрерывен. Нетрудно сообразить, что такое требование приводит к интегральному тождеству

$$\dot{x}^2(t) = 2 \int \limits_0^t f(s)\dot{x}(s)ds + C$$

Добавим это тождество к предыдущим соотношениям и зададимся вопросом существования и единственности решения поставленной задачи.
Уже доказательство существования решения не слишком тривиальная задача. Метод штрафа дает оценку на $\dot{x}$. Оценок на $\ddot{x}$ не ожидается (первая производная терпит разрывы). Но в вариационном неравенстве фигурирует $\dot{x}^2$, поэтому слабой сходимости недостаточно. Кроме того, надо еще и разбираться с законом сохранения энергии. Однако все это преодолимо и в конце концов можно доказать существование такого решения.
Займемся единственностью решения. Простые примеры вполне обнадеживают - решение единственно. Попробуем это доказать. Стандартный подход выглядит так. Пусть у нас имеются два решения $x_1(t),x_2(t)$. Рассмотрим их разность $w(t) = x_1(t)-x_2(t)$. Тогда эта разность удовлетворяет соотношениям
$w(0)=0$
$\dot {w}(0)=0$
$\ddot {w}(t)w(t) \leqslant 0$
И все, тупик. После интегрирования слева не возникает положительно определенная форма. И ничего доказать не удается.
И вот тут выясняется замечательный факт. Пусть какая-нибудь такая функция $w(t)$ существует. Тогда существуют примеры неединственности. А именно, задача
$\ddot {x} (t) \geqslant \ddot {w}^-$
$x \geqslant {w}^-$
$(\ddot {x} (t) - \ddot {w}^-)(x - {w}^-) = 0$
$x(0) = \dot {x} (0) =0$
имеет два решения. Одно из этих решений $x \equiv 0$, а другое $x=w$.
Да, в правой части стоят срезки. Поэтому данные в правой части вообще говоря негладкие. Может быть все дело в гладкости? Нет, гладкость здесь не поможет.
Отметим, что конкретно для данного уравнения (оператор двойного дифференцирования) можно предъявить и более простой пример : функции $x \equiv 0$, а другое $x=|w|$ являются решениями задачи
$\ddot {x} (t) \geqslant -|\ddot {w}|$
$x \geqslant 0$
$(\ddot {x} (t) + |\ddot {w}|)x = 0$
$x(0) = \dot {x} (0) =0$
Позже мы увидим, что $w(t)$ - бесконечно осциллирует возле 0. На вид она похожа на функцию типа $t^k \sin (1/t)$. Этот пример выглядит совсем симпатично. В начальный момент частица покоится на стенке. Затем на частицу начинает действовать некая специально подобранная прижимающая сила. Одно из решений очевидно - частица так и покоится. Но есть и другое решение - частица по этакой раскачивающейся "синусоиде" отходит от стенки и вновь возвращается. В этом решении происходит бесконечное количество ударов об стенку. При этом энергия сохраняется и скорость падения равна скорости отражения.
Но вернемся к первому примеру. Он носит более общий характер и позволит нам построить решения без ударов. Предположим, что нам удалось найти такую $w(t)$, что $f=\ddot {w}^-$ и $g={w}^-$ - гладкие функции. Тогда гладкие функции $x-g$ являлись бы решниями задачи
$\ddot {y} (t) \geqslant f(t) - \ddot {g}$
$y \geqslant 0$
$(\ddot {y} (t) - f(t) + \ddot {g})y(t) = 0$
$y(0)=\dot {y}(0)=0$
В результате мы получим два гладких решения задачи с гладкой правой частью. Это и означает, что ударов об стенку нет. Данный подход годится и для негладких $g$, но тогда получаются решения "с ударами" (в правой части некие $\delta$- функции).
Увы. Такую функцию $w(t)$ вряд ли удастся найти. Но идея именно такая. Позже мы вернемся к этому вопросу.
Итак, все дело свелось к построению функции $w(t)$ со свойством $\ddot {w}(t) w(t) \leqslant 0$. Простейший пример - $\sin t$. Но увы. Надо еще и обнуление производной в 0. Но идея уже понятна. Рисуем этакую синусоиду с бесконечным колебанием стягивающуюся к 0. При этом там где функция положительна - график вогнутый, а там где отрицательна -выпуклый. Если не заботиться о гладкости то и вообще можно взять пилу с кусочно линейным графиком.
Поправим это дело. Загладим эту пилу там, где она ломается. Данная функция $w(t)$ нужное количество раз дифференцируема и линейна в некоторой окрестности каждого своего нуля (там где обращается в 0).
И вот теперь, если взять функцию $g(t)$ как результат заглаживания $w^- (t)$ в тех самых окрестностях, то получим, что $x \equiv 0$ и $x=w$ являются решениями задачи
$\ddot {x} (t) \geqslant \ddot {w}^-$
$x \geqslant g$
$(\ddot {x} (t) - \ddot {w}^-)(x - g) = 0$
$x(0) = \dot {x} (0) =0$
Дальше уже как и выше получаем два гладких решения и для задачи с ограничением $x \geqslant 0$. Да, там надо еще повозиться, получить оценки, но это уже дело техники.
Данный подоход позволяет строить примеры неединственности и для более общих операторов. Например для интегральных операторов типа дробного дифференцирования порядка больше 1.

[Oleg Zubelevich]

Да, это все очень интересно. Однако я не понял про систему

sup в сообщении #702504 писал(а):

$\ddot {x} (t) \geqslant \ddot {w}^-$
$x \geqslant {w}^-$
$(\ddot {x} (t) - \ddot {w}^-)(x - {w}^-) = 0$
$x(0) = \dot {x} (0) =0$

какой ее физический смысл и что такое $w^-$?

[sup]

Обозначение $w^-$ означает срезку.

$ w^-=\begin{cases} w,&\text{если $w<0$;}\\ 0,&\text{если $w \geqslant 0$;}\\ \end{cases} $
Далее. В самом начале мы рассматривали частицу движущуюся в фиксированной области $x \geqslant 0$.
Но что нам мешает рассматривать переменную область $x \geqslant g(t)$? Это приводит к формальной задаче вида
$\ddot {x}(t) =f(t)$
$x(t) \geqslant g(t)$
$(\ddot {x}(t) -f(t))(x(t) - g(t)) = 0$
Если угодно эту задачу можно трактовать как неоднородную. Я сейчас не рассматриваю вопрос о физическом смысле этой задачи. Соответствует она реальной задаче с подвижной границей или нет. Просто вот формально написана такая система и все тут.
Как бы там ни было, но решение одной задачи сводится к решению другой простым сдвигом на $g(t)$. Если мы нашли примеры неединственности в неоднородной задаче, то после такого сдвига получатся примеры неединственности и в исходной задаче.

[Oleg Zubelevich]

Oleg Zubelevich в сообщении #702026 писал(а):

во

$$-m\int_I(\dot{\overline r}(t),\dot{\overline \psi}(t))dt=\int_I\big(\overline F(t,\overline r(t),\dot{\overline r}(t)),\dot{\overline \psi}(t)\big)dt.\qquad (**)$$

опечатка, должно быть:

$$-m\int_I(\dot{\overline r}(t),\dot{\overline \psi}(t))dt=\int_I\big(\overline F(t,\overline r(t),\dot{\overline r}(t)),{\overline \psi}(t)\big)dt.\qquad (**)$$

[Oleg Zubelevich]

sup
скажите пожалуйста, а где про это почитать?

[sup]

Я излагал свои собственные неопубликованные изыскания.
Исторически, мой интерес к этому вопросу возник из одной гипотезы Кажихова А.В. Он предлагал некую новую модель взаимодействия жидкости со стенкой. Нечто промежуточное между условиями прилипания и непротекания. Вот, мол, ртуть в стеклянном стакане. Когда она "прижата" к стенке, то скорость ее движения равна нулю (условие прилипания). Но она может и отойти от стенки (нет смачивания). В этот момент образуется свободная поверхность и нормальная производная должна стать равна 0. Простейшая модельная задача выглядит так.
$(x,t) \in Q = (0,1) \times (0,T)$
$u_t - u_{xx}=f$
$w(x,t) = \int \limits_0^t u(x,s)ds$
$u(x,0)=u_0(x)$
$u(0,t)=0$
$u_x(1,t) \leqslant 0$
$w(1,t) \leqslant g(t)$
$u_x(1,t)(w(1,t) - g(t))=0$
Если разрешимость этой задачи еще как-то просматривалась, то с единственностью решения возникли серьезные проблемы. Стандартный подход не приводит к положительно-определенной форме. Мне удалось решить этот вопрос в том смысле, что разрешимость есть, а вот единственности в этой задаче нет. Попутно выяснилось, что данный подход работает для более широкого класса задач (например, ОДУ). Я, лично, склонен считать, что такая "неединственность" говорит скорее о некой неустойчивости некоторых решений, нежели чем о некорректности модели. Но сам Кажихов отнесся к этому довольно печально и вся эта история как-то сошла на нет. А результат так и не был опубликован.
Однако есть куда более интересный и трудный вопрос. Это вариационные неравенства для гиперболических уравнений с ограничением на решение. Типичный пример - колебания струны под стенкой. Вот где настоящие проблемы. Не очень ясно как вообще "правильно" определить что такое решение.
Мне довелось видеть одну работу (кажется Америо) на итальянском языке. Так вот он доказывал локальную разрешимость методом характеристик. Ну что-то такое. Решение склеивалось из множества кусочков, каждый из которых получался как решение некой локальной задачи. (На мой взгляд - подход тупиковый). Я далеко не все там понял (все-таки работа на итальянском). Но результат меня не очень впечатлил.
Но и определение решения через вариационное неравенство тоже имеет свои недостатки. Я уже об этом говорил. Вообще не понятно, как регулировать "силу реакции" стенки. Надежды на абсолютно упругий удар и закон сохранения энергии не состоятельны (дескать эти соображения обеспечат единственность решения). Как я уже показывал, все это не работает даже для ОДУ. Уж скорее удастся доказать единственность решения с абсолютно неупругим ударом. Кое-какие соображения на этот счет у меня имелись.
Но помимо единственности есть еще и проблемы с разрешимостью. Какой уж там упругий или неупругий удар. Тут бы доказать хоть какую-нибудь разрешимость. В конечном итоге мне удалось получить хоть сколько-нибудь общий результат для задач вида (гильбертово пространство, самосопряженный оператор $A$, выпуклое множество $K$, некие условия на это $K$)
$u_{tt} + Au =f$
$u \in K$
При некоторых предположениях можно доказать и существование решения с "абсолютно упругим ударом". Но вот про единственность ничего сказать не могу.
Но все это тоже не опубликовано.