Правильное определение композиции бинарных отношений.

[antoniosm]

Не могу разобраться, в разных источниках по-разному дается определение композиции отношений.
В одном (1): $R = R_2 \circ R_1: R = \{(x,y) | \exists z: (x,z) \in R_1, (z,y) \in R_2\}$

В другом (2): $R = R_1 \circ R_2: R = \{(x,y) | \exists z: (x,z) \in R_1, (z,y) \in R_2 \} $

Какое из них правильное?

Из-за этого возникли трудности с заданием:
Даны два конечных множества: $А=\{a,b,c\}$, $B=\{1,2,3,4\}$.
Бинарные отношения:
$R_1 = \{(a,1),(b,3),(c,1),(c,4),(c,3),(c,2)\}$
$R_2 = \{(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,4),(4,1)\}$
Требуется найти композицию отношений $R = {($R_2 \circ $R_1)^{-1}}$

Значит так, по определению (1): $ $R = $R_2 \circ $R_1 = \{(x,y) | \exists z: (x,z) \in $R_1, (z,y) \in $R_2\} $.
Итак, чтобы построить отношение $ $R_2 \circ $R_1$ нужно, взять первую пару из $ R_1$ ((a,1)-в данном случае $ $х=a, $z=1$) и посмотреть в отношении $ R_2$ такие пары, которые начинаются на 1.
Таких пар в отношении $R_2$ несколько: $(1,1),(1,2),(1,4)$. Начинаем строить композицию и получаем:$(а,1), (а,2),(а,4)$. И по такому принципу поступаем с каждым элементом из отношения $R_1$.
В итоге, получим $R=\{(a,1),(a,2),(a,4),(b,3),(b,2),(b,4),(c,1),(c,2),(c,4),(c,3)\}$
Получив отношение $R= $R_2 \circ $R_1$ можно его инвертировать, чтобы получить $R^{-1}$, так сказать, искомое.

Теперь попробуем по определению (2): $ $R = R_1 \circ $R_2: R = \{(x,y) | \exists z: (x,z) \in R_1, (z,y) \in R_2 \} $
Здесь нам нужно взять первую пару из отношения $R_2$ (т.к. в задании $R = {($R_2 \circ $R_1)^{-1}}$) (в нашем случае (1,1)) и посмотреть в отношении $R_1$ такие пары, которые начинаются с "1". Но в отношении $R_1$ таких пар нет.
Попробуем применить свойство: $($R_2 \circ $R_1)^{-1} = $$ $R_1^{-1} \circ $R_2^{-1}$ мы получим в $R_1$ следующее: $R_1 = \{(1,a),(3,b),(1,c),(4,c),(3,c),(2,c)\}$. И опять, исходя из определения(2) нужно найти такие пары в $R_2$, которые бы начинались с букв. Но в $R_2$ таких пар нету.

Какое все-таки правильное определение?

[Xaositect]

Вообще говоря, первое правильное, потому что согласовано с общепринятым определением композиции функций.

Но, к сожалению, путаница в разных источниках действительно имеется, и в конкретном случае правильным определением может быть то, которое было на лекциях или в рекомендованном учебнике.

[Deggial]

antoniosm, замечание за дублирование темы, перенесенной в Карантин
Долларов в формуле надо писать всего два: один слева и еще один справа.

[bot]

Мне больше второе нравится, потому что пишу и читаю слева направо. Композиция функций тоже не всегда определяется по первому типу - подстановки, к примеру.

[antoniosm]

Спасибо Вам.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Просто мы функции неправильно пишем: надо $g\colon C\leftarrow B$, $f\colon B\leftarrow A$, тогда сразу понятно, что их композиция — это $g\circ f$

[bot]

(Оффтоп)

Если писать $xf$ (иногда так и пишут) вместо $f(x)$, то никаких извратов со стрелками не понадобится, да и не помогают они - всё равно порядок действий надо читать справа налево.

[AGu]

bot в сообщении #702611 писал(а):

(Оффтоп)

Если писать $xf$ (иногда так и пишут) вместо $f(x)$, то

(Оффтоп)

в равенстве $xf=y$ можно будет убирать равенство, ибо $xf=y\,\Leftrightarrow\,xfy$. Но традиции все равно побеждают традиции.