2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Последовательности многочленов с целыми положительными коэфф
Сообщение22.02.2013, 18:43 


06/02/13
325
vicvolf в сообщении #686909 писал(а):
Многочлен 3-его типа целых нулей не имеет
Что очевидно.

Соответственно, если
vicvolf в сообщении #686747 писал(а):
Неприводимость многочленов над кольцом целых чисел я понимаю, как отсутствие в уравнении $P_k(n)=0$ целых корней.
, то элементарное доказательство "Утверждения 5" выглядит так: поскольку уравнение $P_k(n)=0$ не имеет целых корней, многочлен $P_k(n)$ не приводим по определению. Ч. т. д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности многочленов с целыми положительными коэфф
Сообщение22.02.2013, 20:25 


23/02/12
3434
Ontt в сообщении #687068 писал(а):
vicvolf в сообщении #686909 писал(а):
Многочлен 3-его типа целых нулей не имеет
Что очевидно.

Нет это не очевидно. Я это как раз доказывал в утверждении 5.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности многочленов с целыми положительными коэфф
Сообщение22.02.2013, 20:32 


06/02/13
325
vicvolf в сообщении #687108 писал(а):
Нет это не очевидно.
Странно. Сумма нечетных слагаемых, кол-во которых четно, всегда четна. Сумма четных слагаемых четна. Разность четного и нечетного не равна нулю. Очевидно же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности многочленов с целыми положительными коэфф
Сообщение23.02.2013, 12:52 


23/02/12
3434
Согласен с критикой доказательства утверждения 5. Само утверждение верное. Я действительно хочу доказать неприводимость многочлена 3-его типа над кольцом целых чисел, т.е что его нельзя представить в виде произведения многочленов с целыми коэфициентами.
Я доказал другое утверждение - об отсутствии целых нулей у многочлена 3-его, которое действительно доказывается тривиально.
Имеет ли тривиальное доказательство утверждение 5?
Думаю, что доказательство надо проводить от противного.
Так как многочлен 3-его типа принимает только нечетные значения, то если он приводим,то должен являться произведением многочленов 3-его типа, т.е принимающих только нечетные значения, так как иначе произведение многочленов не будет являться многочленом третьего типа. А дальше как, господа алгебраисты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности многочленов с целыми положительными коэфф
Сообщение23.02.2013, 13:08 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
vicvolf в сообщении #687264 писал(а):
А дальше как, господа алгебраисты?
Никак, утверждение о неприводимости попросту неверно, контрпримеров полно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности многочленов с целыми положительными коэфф
Сообщение23.02.2013, 15:10 


23/02/12
3434
nnosipov в сообщении #687266 писал(а):
vicvolf в сообщении #687264 писал(а):
А дальше как, господа алгебраисты?
Никак, утверждение о неприводимости попросту неверно, контрпримеров полно.

Хотя бы один в студию :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности многочленов с целыми положительными коэфф
Сообщение23.02.2013, 15:33 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Возьмите два многочлены 3-го типа и перемножьте. Очевидно, получится снова многочлен 3-го типа. Каким он будет? Ясно, приводимым. Поэтому доказать утверждение о том, что всякий многочлен 3-го типа является неприводимым, не удастся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности многочленов с целыми положительными коэфф
Сообщение23.02.2013, 16:09 


23/02/12
3434
nnosipov в сообщении #687299 писал(а):
Возьмите два многочлены 3-го типа и перемножьте. Очевидно, получится снова многочлен 3-го типа. Каким он будет? Ясно, приводимым. Поэтому доказать утверждение о том, что всякий многочлен 3-го типа является неприводимым, не удастся.

Спасибо. Как сразу не сообразил. Ведь сам об этом говорил, только наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности многочленов с целыми положительными коэфф
Сообщение24.02.2013, 11:25 


23/02/12
3434
Продолжение

Известно, если многочлен $F(x)$ представим в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами $u(x),v(x)$ (приводим над кольцом целых чисел). то при любом n, таком, что $u(n)>1,v(n)>1,$ $F(n)$ является составным числом.
Учитывая это рассмотрим последовательности неприводимых многочленов над кольцом целых чисел 2-ого и 3-его типа $P_k(x)=a_kx^k+a_{k-1}x_{k-1}+...+a_1x+a_0$ с взаимнопростыми коэффициентами $(a_k,a_{k-1},...a_1,a_0)=1.$
Проанализируем плотность простых чисел в последовательности таких многочленов на любом конечном интервале [2,x).
На основании утверждения 2 и формулы (9.1) темы "Бесконечность простых чисел в последовательности" для плотности простых чисел в последовательности таких многочленов 2-ого типа $f_2(n)$ справедливо соотношение: $0<P(f_2,2,x)<1/2.$
На основании утверждения 3 и формулы (9.1) темы "Бесконечность простых чисел в последовательности" для плотности простых чисел в последовательности таких многочленов 3-ого типа $f_3(n)$ справедливо соотношение: $0<P(f_3,2,x)<1.$

Теперь мы вернемся в тему "Бесконечность простых чисел в последовательности".

Буду благодарен за замечания и предложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательности многочленов с целыми положительными коэфф
Сообщение26.03.2013, 21:08 


23/02/12
3434
vicvolf в сообщении #686370 писал(а):
Утверждение 3
Последовательность многочленов принимает при изменении n только нечетные значения, если количество одночленов в многочлене с нечетными коэффициентами четно, а свободный член является нечетным числом.

Доказательство
Доказательство проводится аналогично утверждению 1, с учетом того, что свободный член является нечетным числом.

Пример неприводимого многочлена над кольцом целых чисел данного типа: $f(n)=n^2+n+1.$

Следствие
Асимптотическая плотность нечетных чисел в последовательности многочленов данного типа в натуральном ряде равна 1.
Асимптотическая плотность четных чисел в последовательности многочленов данного типа в натуральном ряде равна 0.
Доказательство вытекает из формулы (9.2) темы "Бесконечность простых чисел в последовательности".

Хочу напомнить про утверждение 3 и многочлены 3-его типа, неприводимые над кольцом целых чисел с взаимнопростыми коэффициентами. Я попытаюсь доказать бесконечность простых чисел в последовательности данных многочленов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group