банаховы прострнанства

[Oleg Zubelevich]

Расммотрим банаховы пространства $X,Y$. Известно, что $X'$ и $Y'$ изоморфны. Что можно сказать о $X,Y$?

[Sinus]

Не томите душу, поделитесь с нами хотя бы подсказкой :)

[Oleg Zubelevich]

Я недооценил этот вопрос. И ответа у меня нет. Pardon.
Есть только сильное подозрение, что пространства $(L^\infty[0,1])'$ и $(C[0,1])'$ изоморфны

[hippie]

Штрихом Вы обозначаете сопряжённое пространство?

Если рассматривать пространства над $\mathbb{R},$ то пространства $C[0;\ 1]$ и $C([0;\ 1]\cup [2;\ 3])$ не изоморфны (в первом у шара 2 крайние точки, во втором — 4).
В то же время существует биекция между $[0;\ 1]$ и $[0;\ 1]\cup [2;\ 3],$ сохраняющая борелевские множества. Следовательно пространства мер на этих пространствах (т.е. сопряжённые к $C[0;\ 1]$ и $C([0;\ 1]\cup [2;\ 3])$) изоморфны.

Примечание: Вместо пары отрезков можно взять любой несчётный компакт в $\mathbb{R}.$

[Oleg Zubelevich]

Здорово!

а как всетаки на счет моего варианта?

-- Пн мар 25, 2013 19:45:40 --

hippie в сообщении #701289 писал(а):

Штрихом Вы обозначаете сопряжённое пространство?

да

[hippie]

Oleg Zubelevich в сообщении #701303 писал(а):

а как всетаки на счет моего варианта?

По-моему, не проходит. Пожалуйста, проверьте рассуждения.

Пространство, сопряжённое к $C[a;\ b]$ имеет мощность континуум.
Действительно, каждый линейный ограниченный функционал в $C[a;\ b]$ однозначно задаётся некоторой функцией ограниченной вариации, непрерывной слева. Такая функция однозначно определяется значениями в рациональных точках, и, следовательно, мощность множества таких функций не больше континуума.

Пространство $l^\infty$ изометрически вкладывается в $L^\infty (0;\ 1).$
Действительно, пусть $I_n=(\frac {n-1}n ;\ \frac n{n+1}).$ Каждой последовательности $x=(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots)$ поставим в соответствие функцию, при всех $n$ тождественно равную $x_n$ на промежутке $I_n.$
По теореме Хана–Банаха каждый линейный ограниченный функционал продолжается с образа $l^\infty$ на всё $L^\infty (0;\ 1).$ Следовательно, мощность пространства, сопряжённого к $L^\infty (0;\ 1)$ не меньше, чем мощность пространства, сопряжённого к $l^\infty.$

Пространство $l^\infty,$ это то же самое, что пространство функций непрерывных на $\beta \mathbb{N}.$ Мощность $\beta \mathbb{N}$ строго больше, чем континуум (см Энгелькинг "Общая топология", стр.268, теорема 3.6.11 и следствие 3.6.12). Все $\delta$-меры на $\beta \mathbb{N}$ являются (различными) линейными ограниченными функционалами на $l^\infty.$ Следовательно, мощность пространства, сопряжённого к $l^\infty$ (а значит и пространства, сопряжённого к $L^\infty (0;\ 1)$) строго больше, чем континуум.

[Sinus]

Мне тоже кажется, что не проходит.

Пространство, сопряженное к $L _{\infty} [0;1]$ это пространство $ba ([0;1]; \lambda)$ аддитивных мер (не обязательно счетно - аддитивных), которые абсолютно непрерывны относительно меры Лебега $\lambda$. Этот результат содержится, например, в первом томе трилогии Данфорда и Шварца, или в англоязычной википедии в статье "ba space".

Далее, пользуясь той же идеей о крайних точках, подсказанной hippie, в единичном шаре пространства $(C[0;1])^{*}$ каждая Дирак мера является крайней точкой, а в $ba ([0;1]; \lambda)$ крайних точек не наблюдается.

Впрочим, кажется, что доказать отсутствие крайних точек в $(L _{\infty} [0;1])^{*}$ можно и не пользуясь конкретным представлением этого пространства.

[Sinus]

Приснилось, что написанное мной в предидущем посте не может быть правдой ввиду теоремы Крейна-Мильмана.

[sup]

hippie в сообщении #701289 писал(а):

Если рассматривать пространства над $\mathbb{R},$ то пространства $C[0;\ 1]$ и $C([0;\ 1]\cup [2;\ 3])$ не изоморфны (в первом у шара 2 крайние точки, во втором — 4).

Значит нет изометрии. Изоморфизм не исключается. Например в $\mathbb{R}^2$ все нормы эквивалентны, а у единичных шаров разная геометрия.

[Oleg Zubelevich]

спасибо всем за очень интересную беседу

[sup]

Вопрос то, к сожалению, остался открытым. И отсутствие изоморфизма не доказано. Да и с сопряженными пространствами не очень ясно. Я вот не могу сообразить как реализуется изоморфизм $(C[0,1] \cup C[2,3])^*$ и $C[0,1]^*$. В частности, какой функционал соответствует такому: $\varphi (y) = y(2)-y(1)$.

[Sinus]

sup в сообщении #701448 писал(а):

hippie в сообщении #701289 писал(а):

Если рассматривать пространства над $\mathbb{R},$ то пространства $C[0;\ 1]$ и $C([0;\ 1]\cup [2;\ 3])$ не изоморфны (в первом у шара 2 крайние точки, во втором — 4).

Значит нет изометрии. Изоморфизм не исключается. Например в $\mathbb{R}^2$ все нормы эквивалентны, а у единичных шаров разная геометрия.

Действительно, они будут изоморфны. Изоморфизм между $C[-1;\ 1]$ и $C([0;\ 1]\cup [2;\ 3])$ может быть задан следующим образом. Пусть $f\in C([0;\ 1]\cup [2;\ 3])$, $f = f_1+ f_2$, где $f_1 \in C([0;\ 1])$, $f_2 \in C([2;\ 3])$. Положим

$Tf (x) = f_1(|x|) + \text{sign}(x) f_2(|x| +2) $.

Тогда $T$ - биекция, $||Tf|| \leq 2 ||f_1|| \vee ||f_2|| = 2 ||f||$ и, ввиду четности $f_1(|x|)$ и нечетности $ \text{sign} x f_2(|x| +2)$,

$||Tf|| \geq ||f_1|| \vee ||f_2|| = ||f|| $

Задача, похожая на исходную, активно обсуждалась здесь:

http://mathoverflow.net/questions/1380/ ... ach-spaces

[sup]

Sinus в сообщении #701708 писал(а):

$Tf (x) = f_1(|x|) + \text{sign}(x) f_2(|x| +2) $.

Такое построение не проходит. $Tf (x)$ не будет непрерывной.

[Sinus]

Верно, надо потребовать $f_2 (2) = 0$

Будут ли $C([2;\ 3])$ и $\{ f\in C( [2;\ 3]) : f(2) = 0 \} $ изоморфны?

[AGu]

В Math Forum есть аналогичный топик (с контрпримером).