Задача по матану - сходимость рядов

[Cat]

Прошу помочь в решении такой задачи
Покажите, что если $a_{n}\ast b_{n} \rightarrow 0$ при $n\rightarrow\infty$, то ряды
$\sum a_{n}(b_{n+1}-b_{n})$ и $\sum b_{n}(a_{n+1}-a_{n})$ сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости справедлива формула "суммирования по частям"
$\sum a_{n}(b_{n+1}-b_{n})=(a_{n}b_{n}|_{1}^{\infty})-\sum b_{n}(a_{n+1}-a_{n})$

Заранее благодарю

[Cat]

Ну хоть какие-нибудь соображения по поводу задачи, всю ночь не спала, пыталась решить

[shwedka]

И не решите.
Формула неправильная. Возьмите $a_1=1, b_2=1$и все остальные нули.
Вот и не сойдется!!!

[незваный гость]

Вы знаете, я чего-то сомневаюсь в правильности утверждения. Я проверил для $a_n=n^2$, $b_n=\frac{1}{n^4} -- не совпало. Я конечно, мог ошибиться, но я не доверяю Вашей формулировке.

Идея проверки, я думаю, состоит в конечных суммах: $\sum\limits_{n=1}^M a_n (b_{n+1}-b_n) = $ $\sum\limits_{n=1}^M a_n b_{n+1} - a_n b_n = $ $\sum\limits_{n=1}^M a_n b_{n+1} - a_{n+1} b_{n+1} + a_{n+1} b_{n+1} - a_n b_n = $ $\sum\limits_{n=1}^M (a_n - a_{n+1}) b_{n+1} + a_{n+1} b_{n+1} - a_n b_n = $ $(\sum\limits_{n=1}^M (a_n - a_{n+1}) b_{n+1} )+ a_{M+1} b_{M+1} - a_1 b_1 $

Переходя к пределу, имеем: $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n (b_{n+1}-b_n) = $ $ (a_n b_n) |_1^\infty - \sum\limits_{n=1}^\infty (a_{n+1} - a_n) b_{n+1} $, что похоже, но не cовпадает с Вашим утверждением.

Я с ходу не могу привести пример опровергающий первую часть Вашего утверждения - что они сходятся или расходятся одновременно. Но если это и так, то доказательство не бросается в глаза.

[незваный гость]

Я передумал. Рассмотрим $a_{2n} = b_{2n-1}=0$. Тогда очевидным образом утверждение о стремлении $a_n b_n \rightarrow 0$ выполнено. Тем не менее, если мы возьмем $a_{2n-1}=(2n-1)!$ и $b_{2 n}=\frac1{(2n+1)!}$ (здесь -- может быть, надо $b_{2 n}=\frac1{(2n-1)!}$ -- проверьте), мы получим сходимость одного ряда, и расходимость другого.

[Cat]

Да, Незваный гость, вы правы, проверила, получилось, что один ряд сходится, а другой расходится, самое смешное, что это теоретическая задача с экзамена по матану, там еще надо, используя формулу суммирования по частям, доказать признак Абеля-Дирихле.
Спасибо вам за помощь!

[незваный гость]

Вы заметили правильную формулировку -- $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n (b_{n+1}-b_n) = $ $ (a_n b_n) |_1^\infty - \sum\limits_{n=1}^\infty (a_{n+1} - a_n) b_{n+1} $? (была как-то спрятана в середине предыдущих сообщений). Может пригодиться на экзамене. Разница с Вашей - инддекс у $b$ в правой сумме.

И, строго говоря, для суммирования по частям нам не нужно, чтобы $\lim\limits_{n \to 0} a_n b_n = 0$. Достаточно существование конечного предела $\lim\limits_{n \to 0} a_n b_n$.

[Cat]

Да, заметила, я еще до этого пыталась когда формулу доказать, то у меня именно так и получалось

[Cat]

Оказалось, что в условии была опечатка
Конечно, индекс должен быть $b_{n+1}$
Кстати $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}b_{n}$