Помогите найти предел в степенном ряде

[Trurlol]

Ах, да. У Коши ведь будет $\frac{1}{\frac{1}{2}}$, и тогда $R = 2$.

[ИСН]

То-то же.
Теперь следующий вопрос: а что нам скажет признак Коши о поведении ряда $\sum a_nx^n$ на правой границе интервала сходимости?

[Trurlol]

Признак не дает ответа, поскольку $q = 1$.

[ИСН]

Ага. Хорошо. Запомним этот мелкий факт.
Теперь совершенно другой ряд, с блэкджеком и функциями Бесселя: $\sum b_n$. Как-то удалось установить, что $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{b_n}={5\over3}$. Чему равен радиус сходимости ряда $\sum b_nx^n$?

[Trurlol]

$\frac{3}{5}$

[ИСН]

Так. Теперь опять: что нам скажет признак Коши о поведении этого степенного ряда на правой границе интервала сходимости?

[Trurlol]

Расходится, тогда вместе с ним и первый ряд расходится.

[ИСН]

Откуда дровишки? Признак-то что дал? Чему равно q?
И при чём тут первый ряд, не имеющий со вторым ничего общего?

[Trurlol]

Если х = 2, то $q = 2\frac{5}{3} > 1$, а значит ряд расходится.

[ИСН]

Ну это если 2. А откуда вдруг взялось 2? Почему 2? Разве я спросил про 2? Что я спросил?

[Trurlol]

Ммм, еденице.

[ИСН]

Отож!
Ну а вывод какой? Что со сходимостью?

[Trurlol]

Признак не дает ответа. Кстати, в радикальном признаке Коши, ан по модулю, а значит, что надо рассматривать по иному, поскольку там будет 1. Правую границу я рассматривал через достаточные условия и свернул его в экспоненту. Так же поступить и с левой?

[gris]

А что, кроме единицы, можно получить, если мы ряд на краю области сходимости анализируем по тому же самому признаку, по которому находили радиус?

[ИСН]

Подождите с левой.
Не даёт ответа. Запомним этот маленький факт.
Значит, так. Хорошо. Теперь у нас третий ряд, про который вообще ничего не известно. Предел Коши тоже неизвестен. Знаем только, что он есть и равен какому-то числу: $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{c_n}=\xi$.
Какой у нас будет радиус сходимости степенного ряда $\sum c_nx^n$?
Что будет делать ряд на правой границе интервала сходимости?

-- Вт, 2013-03-26, 13:11 --

(Оффтоп)

gris, не забегайте вперёд паровоза. "Смотри, вот же оно, солнце!" - "Чем смотреть, ведь у меня нет глазок?"