Равенство в четырёх точках (2)

[arqady]

$a\geq-1$, $b\geq-1$ и $c\geq-1$ такие, что $a+b+c=3$. Докажите, что:

$$a^4+b^4+c^4+6abc\geq9$$

[вздымщик Цыпа]

Заменим

$a = x - 1$, $b = y - 1$, $c = z - 1$.

тогда

$x \geqslant 0$, $y \geqslant 0$, $z \geqslant 0$

$x + y + z = 6$

$2(a^4 + b^4 + c^4 + 6abc - 9) =$
$= 2((x - g)^4 + (y - g)^4 + (z - g)^4 + 6g(x - g)(y - g)(z - g) - 9g^4)$

где $g = \dfrac{x + y + z}{6} = 1$.

Упрощаем последнее выражение до

$x^2(x - y)(x -z) + y^2(y - z)(y - x) + z^2(z - x)(z - y)$

Если какие-то два из $x$, $y$ или $z$ равны между собой, то два слагаемых равны $0$, а третье — полный квадрат.

Иначе, без ограничения общности из-за симметрии будем считать $x > y > z$.

$x^2(x - y)(x -z) - y^2(y - z)(x - y) + z^2(x - z)(y - z)$

Все множители в слагаемых неотрицательны. Но $x^2 > y^2$ и $(x - z) > (y - z)$, значит вся сумма неотрицательна.

Равенство в $(0,3,3)$, его перестановках и в $(2,2,2)$

[arqady]

Всё правильно, вздымщик Цыпа.
Для всех действительных $a$, $b$ и $c$ таких, что $a+b+c=3$. Докажите, что:

$$a^4+b^4+c^4+6abc\geq9$$

[nnosipov]

arqady в сообщении #693478 писал(а):

Для всех действительных $a$, $b$ и $c$ таких, что $a+b+c=3$. Докажите, что:

$$a^4+b^4+c^4+6abc\geq9$$

Видимо, имеется в виду школьное решение. Если не школьное, то всё просто: ограничение снимаем, критические точки находим, ну и на бесконечности всё хорошо (старшая однородная часть эллиптична).

[arqady]

nnosipov в сообщении #693538 писал(а):

Видимо, имеется в виду школьное решение.

Можно получить сумму квадратов...

[вздымщик Цыпа]

arqady в сообщении #693478 писал(а):

Для всех действительных $a$, $b$ и $c$ таких, что $a+b+c=3$.

Тогда при $y \geqslant 0$

вздымщик Цыпа в сообщении #693468 писал(а):

$x^2 > y^2$ и $(x - z) > (y - z)$,

A если $y < 0$, то $z^2 > y^2$ и $(x - z) > (x - y)$ и опять «плюс больше минуса».

arqady в сообщении #693588 писал(а):

Можно получить сумму квадратов...

Чет не получается пока.

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #693478 писал(а):

Всё правильно, вздымщик Цыпа.
Для всех действительных $a$, $b$ и $c$ таких, что $a+b+c=3$. Докажите, что:

$$a^4+b^4+c^4+6abc\geq9$$

$<=> \sum_{cyc} (2a^2-2b^2+bc-ca)^2\ge 0$

[arqady]

Отлично, Sergic Primazon!

[TR63]

Sergic Primazon в сообщении #693669 писал(а):

arqady в сообщении #693478 писал(а):

Всё правильно, вздымщик Цыпа.
Для всех действительных $a$, $b$ и $c$ таких, что $a+b+c=3$. Докажите, что:

$$a^4+b^4+c^4+6abc\geq9$$

$<=> \sum_{cyc} (2a^2-2b^2+bc-ca)^2\ge 0$

Верно ли, что следствием этой задачи является возможность решить задачу: исходя из (a,b,c,m,$\alpha$) действительные, $0<\alpha\le4$, $m>0$ , $a+b+c=m$ найти n такое, что $a^\alpha+b^\alpha+c^\alpha>n(m)$.
У меня получается, верно. Тогда хочу применить это свойство, для решения другой очень интересной задачи. Но для начала надо разобраться с поставленной задачей.

[TR63]

Разобралась. Не верно, т.к. при $\alpha>0$, $\alpha=4$, $m=3, c=0, n=9$
$a+b=3$
$a^4+b^4>9$
Для следствия неравенство должно быть не строгим, а получается строгое. На самом деле будет:
$a^4+b^4\geq10.125$
Получается очень просто цепочка:

$a+b=1$

1). $a^2+b^2\geq\frac1 2$

2). $a^3+b^3\geq\frac1 4$

3). $a^4+b^4\geq\frac1 8$

4). $a^5+b^5\geq\frac1 {48}$

(Оффтоп)

Если применить мою гипотезу о построении правдоподобных гипотез, (с учётом потеряного в последнем неравенстве качества, которое легко заметить), то можно доказать теорему Ферма и теорему Абеля о неразрешимости уравнений степени выше четвёртой с помощью формулы.

-- 24.03.2013, 22:21 --

Все переменные я рассматривала положительными.

-- 24.03.2013, 22:26 --

(Оффтоп)

Для теоремы Абеля есть другое очень простое потеряное качество, похожее на потеряное качество в теории устойчивости.

[MrDindows]

TR63 в сообщении #700952 писал(а):

*Много текста*

Вы это имели в виду?
Если $a+b+c=m$, то $a^n+b^n+c^n \ge \frac{m^n}{3^{n-1}}$

[TR63]

MrDindows в сообщении #701014 писал(а):

Вы это имели в виду?
Если $a+b+c=m$, то $a^n+b^n+c^n \ge \frac{m^n}{3^{n-1}}$

Нет. У меня дано, что при $n=1, m=1, c=0, a+b=1$. У Вас $a+b\geq1$. Это не соответствует условию. Условие задано однозначным образом. За пример спасибо. Интересный. Подумаю, к чему он может иметь отношение. (В задаче, сформулированной мною в предыдущем посте, переменная m должна зависеть от n.)

-- 25.03.2013, 09:41 --

Уточнение: найденная константа должна зависеть от m (от одной переменной).

-- 25.03.2013, 09:47 --

У Вас она зависит от двух переменных. Поэтому, думаю, в частных случаях граница получается не точная.

[MrDindows]

TR63 в сообщении #701032 писал(а):

MrDindows в сообщении #701014 писал(а):

Вы это имели в виду?
Если $a+b+c=m$, то $a^n+b^n+c^n \ge \frac{m^n}{3^{n-1}}$

Нет. У меня дано, что при $n=1, m=1, c=0, a+b=1$. У Вас $a+b\geq1$. Это не соответствует условию. Условие задано однозначным образом. За пример спасибо. Интересный. Подумаю, к чему он может иметь отношение. (В задаче, сформулированной мною в предыдущем посте, переменная m должна зависеть от n.)

-- 25.03.2013, 09:41 --

Уточнение: найденная константа должна зависеть от m (от одной переменной).

-- 25.03.2013, 09:47 --

У Вас она зависит от двух переменных. Поэтому, думаю, в частных случаях граница получается не точная.

Почему же не соотвествует?
Если $x=1$, то $x \ge 1$ - это истинное утверждение.

Ну и константа не может зависеть от переменной=) В неравенстве и $n$, и $m$, и $\frac{m^n}{3^{n-1}}$ - константы. Переменные - $a,b,c$.
Если вы хотите сделать $m$ или $n$ переменными, то пожалуйста... Найдите минимум функции $\frac{m^n}{3^{n-1}}$ от вашей переменной, и получите константу для неравенства.

[TR63]

MrDindows в сообщении #701423 писал(а):

Если$x=1$ , то $x\ge1$ - это истинное утверждение.

Да, истинное, но не однозначное. Меня интересовало понятие "следование из". Получается, из того, что объект имеет однозначное значение" следует", что он может иметь неоднозначное значение. Возможно, такое когда-нибудь и произойдёт. Только я сомневаюсь, что это произойдет за какой-то конечный промежуток времени.
MrDindows,
Ваша позиция по этому пункту мне ясна.

MrDindows в сообщении #701423 писал(а):

Ну и константа не может зависеть от переменной=

Переменная у меня m. Константа n (это не показатель степени; возможно из-за этого непонимание; показатель степени у меня $\alpha$.)
Я хотела найти неравенство, как у arqady, т.е. с константой в правой части (при различных m она разная; т.е. требуется найти функцию, зависящую от одной переменной m, но не зависящей от показателя степени.) Не получается. Почему не получается, вроде, поняла. Пошла другим путём.
[b]MrDindows[/b,
Ваше неравенство немного не о том, хотя, повторяю, интересное и понятное, но не то, что надо.

[MrDindows]

TR63 в сообщении #701576 писал(а):

MrDindows в сообщении #701423 писал(а):

Если$x=1$ , то $x\ge1$ - это истинное утверждение.

Да, истинное, но не однозначное. Меня интересовало понятие "следование из". Получается, из того, что объект имеет однозначное значение" следует", что он может иметь неоднозначное значение. Возможно, такое когда-нибудь и произойдёт. Только я сомневаюсь, что это произойдет за какой-то конечный промежуток времени.
MrDindows,
Ваша позиция по этому пункту мне ясна.

MrDindows в сообщении #701423 писал(а):

Ну и константа не может зависеть от переменной=

Переменная у меня m. Константа n (это не показатель степени; возможно из-за этого непонимание; показатель степени у меня $\alpha$.)
Я хотела найти неравенство, как у arqady, т.е. с константой в правой части (при различных m она разная; т.е. требуется найти функцию, зависящую от одной переменной m, но не зависящей от показателя степени.) Не получается. Почему не получается, вроде, поняла. Пошла другим путём.
[b]MrDindows[/b,
Ваше неравенство немного не о том, хотя, повторяю, интересное и понятное, но не то, что надо.

Если $a+b+c = m$, и $a,b,c,\alpha \ge 0$ то :
$a^\alpha+b^\alpha+c^\alpha > 0$, если $m<3$
$a^\alpha+b^\alpha+c^\alpha \ge 3$, если $m \ge 3$