Обратная функция

[evgeniy]

Рассмотрим представление функции через обобщенную матрицу Якоби
$y_n(x_1,...,x_N)=y_n(x^0_1,...,x^0_N)+\sum_{m=1}^N\frac{\partial f_n(\xi_1,...,\xi_N)}{\partial x_m}(x_m-x_m^0)\eqno(1)$
Где функция представляется рядом
$\frac{\partial f_n(\xi_1,...,\xi_N)}{\partial x_m}=\frac{\partial f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_m}+\frac{1}{2} \sum_{k=1}^N\frac{\partial^2 f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_k \partial x_m}(x_k-x_k^0)+ \frac{1}{6} \sum_{k,l=1}^N\frac{\partial^3 f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_l \partial x_k \partial x_m}(x_l-x_l^0)(x_k-x_k^0)\eqno(2)$
Этот ряд предполагается сходящимся. В случае если преобразование полином многих переменных, этот ряд конечен.
Теорема об обратной функции доказана локально. Докажем существование обратной функции в области. Обратная функция существует в области, где определитель матрицы $\frac{\partial f_n(\xi_1,...,\xi_N)}{\partial x_m}$ должен быть непрерывен и отличен от нуля.
При отличном от нуля определителе в области имеется принципиальная возможность разрешимости уравнения (1), т.е. по заданной функции $y_n(x_1,...,x_N)$ можно определить обратную функцию $x_m(y_1,...,y_N),m=1,...,N$. т.е. задача разрешима в точках области, где определитель обобщенной матрицы Якоби отличен от нуля. Причем условие не равенства нуля определителя необходимое и достаточное условие существования обратной функции. При этом исследовать систему нелинейных уравнений надо из свойств линейной системы уравнений. Т.е. при равенстве нулю определителя, необходимо накладывать условия на значение $y_n(x_1,...,x_N)-y_n(x^0_1,...,x^0_N)$ причем решение линейного уравнения определяется с точностью до неизвестного значения одной из переменных. При этом задача сводится к вычислению этой переменной из условия, наложенного на функцию $y_n(x_1,...,x_N)-y_n(x^0_1,...,x^0_N)$, т.е. обратная функция может определиться и в этом случае, но она определится из другого уравнения, т.е. обратная функция будет иметь максимум или минимум в этой точке.
Докажем достаточность. Из не равенства нулю определителя следует принципиальная разрешимость (1), т.е. обратная функция определится.
Докажем необходимость не равенства нулю определителя. Доказательство от противного, допустим определитель не равен нулю, а обратное преобразование не существует. Тогда существует обратное преобразование. т.е. пришли к противоречию.
Теорему можно использовать при нахождении корней нелинейного уравнения. Если определитель обобщенной матрицы Якоби отличен от нуля во всем декартовом пространстве, т.е. определитель положителен или отрицателен, то система нелинейных уравнений имеет решение. Но для получения решения все равно необходимо для сходимости алгоритма взять близкую точку решения.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #701084 писал(а):

Теорема об обратной функции доказана локально. Докажем существование обратной функции в области. Обратная функция существует в области, где определитель матрицы $\frac{\partial f_n(\xi_1,...,\xi_N)}{\partial x_m}$ должен быть непрерывен и отличен от нуля.

Доказательство, а также само утверждение, ошибочны. В области необращение в нуль определителя не является достаточным для обратимости отображения. Примеры издавна известны, начиная с размерности 2.

[evgeniy]

Приведите примеры или ссылку на литературу в интернете. Я надеюсь Вы обратили внимание. что используемая мною матрица Якоби отличается от существующей в литературе. Приведите примеры с используемой мною обобщенной матрицей Якоби.
Если примеры касаются стандартной матрицы Якоби, то приводить примеры не надо, с ее помощью можно доказать только локальные свойства, а глобальные свойства доказать невозможно.

[shwedka]

Да сколько угодно!
вот, в полярных координатах
область: кольцо, $1<r<2$.
Отображение $F(r,\varphi)=(r, 2\varphi)$.
Посчитайте Ваш якобиан -- в Вашем изложении определения его не наблюдается.

Цитата:

Обратная функция существует в области, где определитель матрицы $\frac{\partial f_n(\xi_1,...,\xi_N)}{\partial x_m}$ должен быть непрерывен и отличен от нуля

По крайней мере, в этой цитате различие с обычным якобианом не видно.

[evgeniy]

Подразумевается функция от равного количества переменных, 2 аргумента, 2 функции. У вашего преобразования матрицу Якоби не построишь, она будет не квадратная и определитель не посчитаешь. Мое отличие матрицы преобразования, что оно точно справедливо для конечных приращений, а не бесконечно малых приращений.

[shwedka]

Цитата:

Подразумевается функция от равного количества переменных, 2 аргумента, 2 функции.

Вот если по пальцам сосчитать, у меня ровно два аргумента, две функции.
А Вы, что, где-то больше или меньше насчитали? или Вам запись не понять?
Ну, поясню
$F_1(r,\varphi)=r,\\ F_2(r,\varphi)=2\varphi$
все происходит в кольце, запись в полярных координатах.

[evgeniy]

Матрица диагональна с диагональными элементами 1,2, обратная функция считается легко и при не нулевом определителе обратная функция всегда существует $y_1=r,y_2=2\varphi$, обратное преобразование всегда существует $r=y_1,\varphi=y_2/2$.
Я Вас не понимаю, в чем смысл примера.

[Someone]

evgeniy в сообщении #701205 писал(а):

обратное преобразование всегда существует $r=y_1,\varphi=y_2/2$

А ничего, что $F(1,0)=F(1,\pi)=(1,0)$?

[nnosipov]

evgeniy, вот Вам и домашнее задание --- разобраться, в чём смысл примера. При Вашей патологической неряшливости в написании формул это очень полезное упражнение.

[shwedka]

Похоже, что по своему обычаю, вы не подумали о том, что такое 'обратное отображение'.
Откройте учебник, прочитайте о левом обратном, правом обратном и обратном.

[evgeniy]

Someone
Вы рассматриваете преобразование $x=r \cos\varphi;y=r\sin\varphi$. Определитель матрицы Якоби этого преобразования равен единице, но обратная функция не однозначна. Определитель обобщенной матрицы Якоби, по формуле, которую я предлагаю не равен единице, а обращается в ноль, т.е. теорема работает. Вычислю первый элемент второй строки обобщенной матрицы Якоби
$\frac{\partial x[\xi_1(\varphi),\xi_2(\varphi)]}{\partial \varphi}=r\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi^{2n-1}}{(2n)!}(-1)^n \ne - r \sin\varphi$
при этом определитель этой матрицы обращается в ноль.
shwedka
В данном случае имеется одно преобразование координат, матрица частных производных расположена слева от приращения по определению частной производной, т.е. имеется вид
$y_n-y_n^0=\sum_{m=1}^N \frac{\partial y_n}{\partial x_m}(x_m-x_m^0)$

[nnosipov]

evgeniy в сообщении #701489 писал(а):

Вы рассматриваете преобразование $x=r \cos\varphi;y=r\sin\varphi$.

Вы даже не поняли, о каком отображении идёт речь в примере.

evgeniy в сообщении #701489 писал(а):

т.е. теорема работает

Она у Вас даже не сформулирована. Нельзя же принимать за формулировку теоремы тот набор неряшливо написанных формул, что мы видели в начальном посте. Вы употребляете термин "обобщённая матрица Якоби", а определение этому нигде не даёте. Только после того, как все термины будут определены и теорема будет чётко сформулирована, можно будет обсуждать вопрос, работает она или нет.

[evgeniy]

Я не пишу математическую статью в журнал, где все должно быть строго оговорено и все формулировки даны. Предлагается новый вид матрицы Якоби, запись которой произведена, и основное предположение теоремы сформулированы. Если Вас такой стиль изложения не устраивает я тут ничего поделать не могу. Математическая строгость это не самоцель, а возможность избежать ошибки. Если вы обнаружили ошибку или опровергающий пример, то так и сообщите.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #701489 писал(а):

но обратная функция не однозначна.

Откройте учебник и прочтите, что называется обратной функцией.

-- Вт мар 26, 2013 10:02:07 --

evgeniy в сообщении #701517 писал(а):

Математическая строгость это не самоцель, а возможность избежать ошибки.

Так оно и получилось. При отсутствии математической строгости, Вы деляете ошибки.

[evgeniy]

Прочитал я Смирнова и Фихтенгольца, что они пишут об обратных функциях. у Фихтенгольца приведены примеры многозначных обратных функций. У Смирнова матрицей Якоби обозначено матрица с диагональным преобладанием. Взял книги по функциональному анализу, Колмогорова и Люстерника. У Колмогорова только линейное преобразование и обратное к нему, которые как я понимаю могут быть правыми и левыми. У Люстерника есть однозначное локальное обратное к нелинейному преобразованию.
Все это не изменило моего отношение к предлагаемой идее. Если определенная мною обобщенная матрица имеет не нулевой определитель в замкнутой односвязной области, то в этой области определена однозначная обратная функция.
пример $x=r\cos\varphi,y=r \sin\varphi$ показывает, что для не нулевой стандартной матрице Якоби локальные теоремы со стандартной матрицой Якоби не определяют однозначные функции. В случае не равенства нулю определителя предлагаемой матрицы Якоби обратная функция однозначна.